szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2019, o 16:01 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
Czy dla funkcji, która spełnia warunek Lipschitza stała Lipschitza zawsze istnieje? Bardzo bym prosił o jakieś krótkie uzasadnienie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2019, o 16:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2122
Lokalizacja: hrubielowo
No tak to wynika z definicji. Funkcja spełnia warunek Lipschitza jeśli istnieje taka stała L że dla dowolnych x,y zachodzi \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right|. Jeśli taka stała nie istnieje to warunek Lipschitza nie jest spełniony.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2019, o 16:27 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
Tak ale w swoim pytaniu chodziło mi o stałą Lipschitza czyli najmniejszą liczbę L dla której ta nierówność zachodzi. Ponieważ samo istnienie tej stałej chyba nie implikuje istnienie najmniejszej takiej możliwej stałej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2019, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Taka najmniejsza możliwa stała zawsze istnieje o ile w definicji warunku Lipschitza żądamy, żeby L\ge 0. W przeciwnym razie w skrajnym przypadku jeśli dziedzina f ma co najwyżej jeden element, to funkcja będzie spełniać warunek Lipschitza z dowolną stałą rzeczywistą (także ujemną).

Uzasadnienie:

Załóżmy, że f spełnia warunek Lipschitza. Wówczas zbiór

\left\{ L\in[0,\infty):\bigwedge_{x,y\in \mathrm{dom}f}|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\right\}

jest niepusty i ograniczony z dołu (np. przez 0). Ma on więc kres dolny i ten kres dolny jest właśnie stałą Lipschitza (należy jeszcze udowodnić, że ten kres dolny należy do tego zbioru).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2019, o 13:28 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Kraków
No właśnie główna trudność dla mnie polega na sprawdzeniu że kres dolny tak zdefiniowanego zbioru będzie należał do tego zbioru. Oczywiście widać że będzie on przedziałem, ale pytanie czy musi być to przedział domknięty?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2019, o 15:38 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8341
Lokalizacja: Wrocław
Niech L_0 będzie infimum tego zbioru. Gdyby L_0 nie należał do tego zbioru, to istniałyby x, y \in \mathrm{dom} \, f, takie że |f(x) - f(y)| > L_0 | x-y |. Udowodnij, że wtedy istnieje takie \varepsilon > 0, że również |f(x) - f(y)| > (L_0 + \varepsilon) |x-y|, co jest sprzeczne z definicją L_0.

Inaczej:

\{ L \in [0, \infty) : (\forall x, y \in \mathrm{dom} \, f) \, |f(x) - f(y)| \le L |x-y| \} = \bigcap_{\substack{x, y \in \mathrm{dom} \, f \\ x \neq y}} \left[ \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right|, \infty \right)

a dowolny przekrój przedziałów domkniętych jest przedziałem domkniętym, jeśli jest niepusty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Warunek Lipschitza - zadanie 34  Aspik  1
 warunek Lipschitza - zadanie 2  xxxxx  0
 Warunek Lipschitza - zadanie 33  aneta909811  1
 Warunek Lipschitza - zadanie 18  ritsuko  2
 Warunek Lipschitza - zadanie 25  mmk123456  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl