szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 sty 2019, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Niech A i B będą dwoma liniowymi ograniczonymi operatorami na rzeczywistej przestrzeni Hilberta H. Niech L będzie zadany przez
L=B+A^*A
oraz niech B^*=-B
Wykaż, że L jest dodatni tj. \left\langle Lx,x\right\rangle  \ge 0 dla x \in H. Wykaż, że \ker L=\ker A \cap \ker B.

Jak to zrobić?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 sty 2019, o 21:54 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
\langle Lx, x \rangle = \langle (B+A^* A)x, x \rangle = \langle Bx,x \rangle + \langle A^* Ax,x \rangle = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \langle Ax, Ax \rangle = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \frac{1}{2}x, B^* x \rangle + \|Ax\|^2 = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle - \frac{1}{2} \langle x,Bx \rangle + \|Ax\|^2=  \|Ax\|^2 \geq 0

Dla równości jąder - rozpisz co oznacza Lx = 0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 sty 2019, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 2340
Lokalizacja: Kraków
Ok a możesz to rozpisać bo tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sty 2019, o 18:58 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
No jedziemy z równoważnymi przekształceniami:
Lx = 0 \\
(B+A^*A)x = 0 \\
Bx + A^* A x = 0
Zatem - jeśli x \in \ker A \cap \ker B, to Lx = Bx + A^* Ax = 0 + A^* 0 = 0, więc
x \in \ker L
co dowodzi, że \ker A \cap \ker B \subset \ker L. Na odwrót, jeżeli x \in \ker L, to Lx = 0 i w konsekwencji
Bx + A^* A x = 0
lub równoważnie
\langle Bx + A^* Ax, y \rangle = 0
dla każdego y. W szczególności dla y=x Czyli
0 = \langle Bx + A^* Ax, x \rangle = \langle Lx,x \rangle = \|Ax\|^2
z wcześniejszych rachunków. Stąd Ax = 0, więc x \in \ker A. Zatem
0 = Lx = Bx + A^* Ax = Bx + 0 = Bx,
więc Bx = 0 i x \in \ker B, co dowodzi, że \ker L \subset \ker A \cap \ker B.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać, że dana krzywa jest płaska.  Anonymous  2
 czy ta liczba jest wymierna? zadanko z funkcją zeta riemann  neshenti  12
 Jaki jest wzór na sume arctg?  raphx  2
 Jak pokazać, że inwersja jest homografią?  tinka  0
 Czy pochodna kierunkowa jest operatorem liniowym?Uzasadnij  pulpet666  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl