szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Krakow
Witam, y''+y\tan(t)=e^t \quad y(0)=0 \quad y'(0)=0
musze zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie i czy rozwiązanie jest dokładnie jedno wykorzystując twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności.
Mógłby mnie ktoś nakierować ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sty 2019, o 19:56 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Zacznij od zamiany równania drugiego rzędu na problem Cauchy'ego pierwszego rzędu (poprzez podstawienie y' = x.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sty 2019, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Krakow
Zacząłem robić to zadanie i wyszło mi coś takiego:
\left\{ \begin{array}{ll}
x_1'=x_2\\
x_2'=-\tan (t)x_1+e^t\\
x_1(0)=0\\
x_2(0)=0
\end{array} \right.

Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika,ze problem początkowy posiada dokładnie jedno rozwiązanie x(t)
na przedziale
\mathbb{I}=[-a,a]
x_0(t)=x_0,\quad x_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x_n(s))ds

\[ x_0(t)= \left| \begin{array}{cc}
0\\
0
\end{array} \right|.\]

\[ x_1(t)= \left| \begin{array}{cc}
0\\
e^t-1
\end{array} \right|.\]

q(t)=\tan (t) \Rightarrow \mathbb{D} \in \mathbb{R} \setminus  \left\lbrace \frac{\pi}{2}+k\pi \quad :k\in \mathbb{Z}\right\rbrace
g(t)=e^t \Rightarrow ciągła na całym przedziale

Pytanie, czy jest to dobrze rozwiązane ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sty 2019, o 15:33 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Zamiana jest poprawna, ale dalej nie widzę jakiegokolwiek uzasadnienia, a jedynie ścianę znaczków.
Równanie sprowadziło się do zagadnienia Caychy'ego
\mathbf{x}'(t) = f(t, \mathbf{x}(t))
z warunkiem \mathbf{x}(0) = \mathbf{0}, gdzie \mathbf{x} = (x_1, x_2). Funkcja f jest zadana wzorem
f(t,\mathbf{x}) = \left( x_2, -\tg (t) x_1 + e^t \right)
Powinieneś teraz sprawdzić, czy jest ona lokalnie lipschitzowska.
\| f(t, \mathbf{x}) - f(t,\mathbf{y}) \| = \left\| \left( x_2 - y_2, -\tg (t) x_1 + \tg(t) x_2 \right) \right\| = \left\| \left( x_2 - y_2, (x_2 - x_1) \tg(t) \right) \right\| = \ldots
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 twierdzenie o istnieniu i jednoznacznosci  klimmek  2
 Przedział jednoznaczności rozwiązania Cauchy'ego  rymek94  0
 twierdzenie Liouville'a i Abela  niebieska_biedronka  0
 Twierdzenie Picarda-Lindelöfa dla zagadnienia Cauchy'ego  loonatic  5
 Twierdzenie Picarda - dowód  sirduke  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl