szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 18:09 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Mam równanie i obliczam jego równanie jednorodne. Jak obliczyć równanie niejednorodne ?

t^{2}y'' + ty' + 4y =10t \\

t^{2}y'' + ty' + 4y = 10t \\
 t^{2}y'' + ty' - 4y = 0 \\
 y=t^r\\
r(r-1)+r+4=0\\ r^2+4=0\\ r_1=0+i2 \vee r_2=0-i2\\ y_o=t^0\left( C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t \right) =C_1 \sin 2\ln t +C_2 \cos 2\ln t

Prosiłbym o wytłumaczenie krok po kroku :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 20:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2173
Lokalizacja: hrubielowo
Proponuję zmienić kolejność podejścia do tego problemu. Podstawieniem t=e^x sprowadzisz to równanie do

\frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2}+4y=10e^x

A to rozwiązujemy już standardowo uzmienniając stałe na przykład... rozwiązania równania jednorodnego to \sin 2x oraz \cos 2x dlatego można teraz uzmiennić stałe C_1 \rightarrow C_1(t) oraz C_2 \rightarrow C_2(t) i rozwiązać

\begin{pmatrix} \sin 2x & \cos 2x \\ 2\cos 2x & -2\sin 2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1^\prime \\ C_2^\prime  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10e^x \end{pmatrix}

To po wyliczeniu i scałkowaniu pozawala zapisać, że

y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+2e^x

I jest to już rozwiązanie ogólne. Teraz trzeba tylko wrócić do zmiennej t czyli x=\ln t to daje

y=C_1\cos \left( 2\ln t\right) +C_2\sin \left( 2\ln t\right) +2t

i jest to ogólne rozwiązanie równania z zadania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 22:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
Proponowałbym metodę przewidywania:
y_s=At+B \Rightarrow y'_s=A \Leftrightarrow y''_s=0\\
t^2 \cdot 0+t \cdot A+4 \cdot (At+B)=10t\\
5At+4B=10t \Rightarrow A=2 \wedge B=0\\
y=y_o+y_s=...

Uzmiennianie stałych także można zrobić z postaci podanej w temacie, lecz z równaniem różniczkowym zmodyfikowanym do postaci:
y''+ \frac{1}{t}y'+  \frac{4}{t^2}y= \frac{10}{t}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie niejednorodne - zadanie 3  luqasz  3
 rownanie niejednorodne  friko  4
 równanie niejednorodne - zadanie 4  Matiaa  3
 Równanie niejednorodne - zadanie 5  Tasiak12  1
 równanie niejednorodne - zadanie 6  paba  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl