szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Następujący układ równań rozwiązać metodą operatorową lub sprowadzając je do układów równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej.

\begin{cases}  x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 gru 2018, o 01:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13929
Lokalizacja: Wrocław
Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)
Transformujemy stronami oba równania układu
\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases},
dla uproszczenia zapisu oznaczam X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}:
\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =  \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t  \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y =  \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t  \end{cases}
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}
a więc
\begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)
Następnie przydałaby się nam macierz
\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1},
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)
Równość (*) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Rozmawiałem z prowadzącym, powiedział żeby spróbować ta druga metodą. A nie bardzo wiem jak.

Zrobiłem to tak:
\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}

x = -t + y' - x'
y = 1 - y' - x'
\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-1 &1\\-1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}-t\\1\end{array}\right),

V = A \cdot V'
V' = A^{-1} \cdot V - b

\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right)


V_{p}(t) = \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}t\\-1\end{array}\right) = V'_{p}(t) -\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) V_{p}(t)

\frac{\partial \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr] }{\partial t} - \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right) \Biggr[ \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right) \Biggr]

\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) - \Biggr[\left(\begin{array}{cc}-\frac{x}{2} - \frac{y}{2}\\\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{cc}\frac{-a}{2} - \frac{b}{2}\\\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\end{array}\right) \Biggr]

\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\frac{x}{2} + \frac{y}{2}\\-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc}x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2}\\y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\end{array}\right)

\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \\ -\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0 \end{cases}

Dodaję stronami i wychodzi:

\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}

Póżniej:

\begin{cases} x+\frac{a}{2}+ \frac{b}{2} = 0 \\ y-\frac{a}{2}+\frac{b}{2} = -1 \end{cases}

Po dodaniu stronami i wykorzystaniu wczesniejszych rozwiazań:

\begin{cases} a = 1 \\ b = -3 \end{cases}

Z tego wychodzi mi:

V_{p}t = \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)

V' = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)

\beta = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right)

V' = \beta V

\frac{dV}{V} = \beta dt

\ln{|V|} = \beta t + C
|V| = e^{\beta t} e^{C}
V \pm e^{C} e^{\beta t}
V_{h} = ke^{\beta t}

V = V_{h} + V_{p}
V = ke^{\beta t} + \Biggr[ \left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)t + \left(\begin{array}{c}1\\-3\end{array}\right)\Biggr]

k \in \Re

Co myślicie o tym rozwiązaniu? Prowadzacy powiedział że jest prawie dobrze, ale żebym się przyjrzał lepiej. Co tutaj należałoby poprawić?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 sty 2019, o 00:16 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Premislav napisał(a):
Skorzystamy ze wzoru na transformatę Laplace'a pochodnej:
\mathcal{L}\left\{ f'(t)\right\} =s\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} -f(0)
Transformujemy stronami oba równania układu
\begin{cases} x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases},
dla uproszczenia zapisu oznaczam X=\mathcal{L}\left\{ x\right\}, \ Y=\mathcal{L}\left\{ y\right\}:
\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =  \int_{0}^{+\infty}-te^{-st}\,\dd t  \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y =  \int_{0}^{+\infty}1\cdot e^{-st}\,\dd t  \end{cases}
Po trywialnym przeliczeniu tych całek (pierwsza przez części, druga z podstawowych wzorków) mamy więc:
\begin{cases} sX-x(0) +X -sY+y(0) =-\frac{1}{s^2} \\ sX-x(0)+ sY-y(0)+ Y = \frac 1 s \end{cases}
a więc
\begin{cases} (s+1)X -sY =-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0) \\ sX+(s+1)Y= \frac 1 s+x(0)+y(0) \end{cases}
Teraz możemy to zapisać w postaci macierzowej:
\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{s^2}+x(0)-y(0)\\\frac 1 s+x(0)+y(0) \end{array}\right) \ (*)
Następnie przydałaby się nam macierz
\left(\begin{array}{cc}s+1 &-s\\s&s+1\end{array}\right)^{-1},
znajdujemy ją ulubioną metodą (np. z operacjami na sklejonej macierzy jednostkowej lub z macierzą dołączoną), mnie wyszła taka:
\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc} s+1&s\\-s&s+1\end{array}\right)
Równość (*) mnożymy obustronnie z lewej przez tę macierz i dostajemy:
\left(\begin{array}{cc}X\\Y\end{array}\right)=\frac{1}{(s+1)^2+s^2}\left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right)
o ilem się nie rąbnął w rachunkach (nieważne jakbym się koncentrował, nawet na egzaminie, zdarza mi się to nagminnie). No i teraz dla każdej współrzędnej z osobna bierzemy transformację odwrotną (nikomu nie życzę tej całki, zamiast tego lepiej skorzystać z podstawowych wzorów, liniowości transformaty Laplace'a i różnowartościowości tejże).


Ktoś ma jakiś pomysł jak rozwiązać

{\cal L}^{-1} \left[ \left(\begin{array}{cc}-\frac{s+1}{s^2}+(s+1)(x(0)-y(0))+1+s(x(0)+y(0))\\\frac 1 s-s(x(0)-y(0))+\frac{s+1}{s}+(s+1)(x(0)+y(0)) \end{array}\right) \right] ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2019, o 15:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\begin{cases}  x' +x - y' = -t \\ x' + y' + y = 1 \end{cases}\\
x'=-x+y'-t\\
y'=-x'-y+1\\
\begin{cases}  x' +x - (-x'-y+1) = -t \\ (-x+y'-t) + y' + y = 1 \end{cases}\\
 \begin{cases} 2x'+x+y=1-t \\ 2y'-x+y=1+t \end{cases}\\
 \begin{cases} 2x'=-x-y+1-t \\ 2y'=x-y+1+t \end{cases}\\
 \begin{cases} x'=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t \\ y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t \end{cases}\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 układ równań różniczkowych - jak rozwiązać?  anders211  0
 Korzystając z Transformaty Laplace'a rozwiązać równanie  szczyki  13
 Równania różniczkowe II rzędu.  Syn  1
 Transformata odwrotna metodą splotu.  SPQR_94  2
 Ulepszona metoda Eulera  jnx  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl