szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
W poniższych zadaniach zbadać czy problem początkowy posiada rozwiązanie i czy rozwiązanie jest dokładnie jedno. Jeżeli istnieje rozwiązanie to należy go wyznaczyć. W przypadku gdy jest więcej niż jedno rozwiązanie należy podać przykłady conajmniej dwóch różnych rozwiązań

Nie wiem jak sie za to zabrac nawet. :(

y'' + 4y = -5sin(2t) + 3cos(2t), y(0) -1, y'(0) = 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 16:09 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
To jest równanie liniowe. Najpierw rozwiązujemy równanie
y'' + 4y = 0
korzystając z wielomianu charakterystycznego \lambda^2 + 4 = 0, a potem korzystamy z metody przewidywań.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 27 gru 2018, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
y'' + 4y = -5sin(2t) + 3cos(2t), y(0) = -1, y'(0) = 1

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 4y(t) = 3cos(2t) -5sin(2t)

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 4y(t) = 0

y(t) = e^{\lambda t}

\frac{d^{2}}{dt^{2}}(e^{\lambda t}) + 4e^{\lambda t} = 0

\frac{d^{2}}{dt^{2}}(e^{\lambda t})  = \lambda^{2}e^{\lambda t}

\lambda^{2}e^{\lambda t} + 4e^{\lambda t} = 0

(\lambda^2 + 4)e^{\lambda t} = 0

e^{\lambda t} \neq 0

\lambda^{2} +4 =0

\lambda = 2i \lor \lambda = -2i

\lambda = \pm 2i

y_{1}(t) = c_{1}e^{2it}

y_{2}(t) = c_{2}e^{-2it}

y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t) = c_{1}e^{2it} + c_{2}e^{-2it}

e^{ \alpha +i \beta } = e^{ \alpha }cos( \beta ) +ie^{ \alpha }sin( \beta )

y(t) = c_{1}(cos(2t)+isin(2t)) + c_{2}(cos(2t)-isin(2t))

y(t) = ( c_{1} + c_{2} )cos(2t) + i( c_{1} - c_{2} )sin(2t)

c_{1} = c_{1} + c_{2}

c_{2} =  i( c_{1} - c_{2} )

y(t) = c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t)

\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} +4y(t) = 3cos(2t) - 5sin(2t)

y_{p}(t) = t(a_{1}cos(2t) a_{2}sin(2t))

\frac{d^{2}y_{p}(t)}{dt^{2}} =  \frac{d^2}{dt^2}(a_{1}tcos(2t) + a_{2}tsin(2t)) = -4a_{1}tcos(2t) -
4a_{1}sin(2t) +  4a_{2}cos(2t) - 4a_{2}sin(2t)

\frac{d^{2}y_{p}(t)}{dt^{2}}  + 4y_{p}(t) = 3cos(2t) - 5sin(2t) -4a_{1}tcos(2t)-4a_{1}sin(2t)+
4a_{2}cos(2t)-4a_{2}tsin(2t) + 4(a_{1}tcos(2t)+a_{2}tsin(2t)) = 3cos(2t) - 5sin(2t)

4a_{2}cos(2t) - 4a_{1}sin(2t) = 3cos(2t) - 5sin(2t)

4a_{2} = 3

-4a_{1} = -5

a_{1} =  \frac{5}{4}

a_{2} =  \frac{3}{4}

y_{p}(t) = tcos(2t)a_{1} + tsin(2t)a_{2}

y_{p}(t) =  \frac{5}{4}tcos(2t) +  \frac{3}{4} tsin(2t)

y(t) = y_{c}(t) + y_{p}(t) =  \frac{5}{4}tcos(2t)a_{1} +  \frac{3}{4} tsin(2t) + c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t)

\frac{dy(t)}{dt} =  \frac{d}{dt} ( \frac{5}{4}tcos(2t) +  \frac{3}{4} tsin(2t) + c_{1}cos(2t) + c_{2}sin(2t) )

-- 27 gru 2018, o 17:10 --

= \frac{5}{4} cos(2t) + \frac{3}{2} tcos(2t) + \frac{3}{4}sin(2t) - \frac{5}{2} tsin(2t) - 2c_{1}sin(2t) +2c_{2}cos(2t)

y(0) = -1

\frac{dy(t)}{dt}  = \frac{5}{4} cos(2t) + \frac{3}{2}tcos(2t) + \frac{3}{4} sin(2t) - \frac{5}{2}tsin(2t) - 2sin(2t)c_1 + 2cos(2t)c_{2}

2c_{2} + \frac {5}{4} = 1

c_{1} = -1

c_{2} = -\frac {1}{8}

y(t) = \frac{5}{4} tcos(2t) + \frac {3}{4} tsin(2t) + cos(2t)c_{1} + sin(2t)c_{2}

y(t) = \frac{1}{8}(2cos(2t)(5t - 4) + (6t - 1) sin(2t))

Co o tym myślisz?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 rozwiązanie równania różniczkowego w exelu  MaC24  0
 Rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego  Sowa  4
 Rozwiązanie RR i reguła łańcuchowa  SasQ  7
 Wykaż, że równość ma jedno rozwiązanie  bambo969  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl