szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:19 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać równanie lub układ równań przy użyciu transformaty Laplace'a


\left\{ \begin{array}{ll}
x'' + x -y = 0 \\
y'' + y -x = 0\\
x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = -2, y'(0) = 1
\end{array} \right.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 21:40 
Użytkownik

Posty: 4743
\left\{\begin{array}{ll} x'' + x -y = 0 \\ y'' + y -x = 0\\ x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = -2, y'(0) = 1 \end{array} \right.

Z własności transformacji Laplace'a,

s^2X -s\cdot 0 +2 +X + Y = 0

s^Y -s\cdot 0 -1 - X + Y = 0

s^2 X +X + Y = -2 \ \ (1)

s^2 Y   - X + Y = 1 \ \ (2)

Dodajemy stronami równania (1), (2)

s^2(X+Y) = -1

X + Y = -\frac{1}{s^2}

Y = -X - \frac{1}{s^2} \ \ (3)

Podstawiamy równanie (3) do równania pierwszego

s^2X + X + X + \frac{1}{s^2} = -2

s^2X+ 2X = -2 -\frac{1}{s^2}

X(s^2 +2) = -2 -\frac{1}{s^2}

X = \frac{-2}{s^2+2} - \frac{1}{s^2(s^2+2)} \ \ (4)

Podstawiamy równanie (4) do równania (3)

Y = -\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s^2+2} + \frac{1}{s^2(s^2 +2)} \ \ (5)

Znajdujemy oryginały transformat odpowiednio (4), (5), korzystając z własności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

x(t) = \mathcal{L}^{-1}[X] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-2}{s^2+2} - \frac{1}{s^2(s^2+2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-2}{s^2+2}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2(s^2+2)}\right]

x(t) = -\sqrt{2} \sin(\sqrt{2}t) - \frac{1}{2}t  + \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}.

y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y] = \mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2} + \frac{2}{s^2+2} + \frac{1}{s^2(s^2 +2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{1}{s^2}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2}{s^2+2}\right] +\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2(s^2 +2)}\right]

y(t) = -t + \sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t) +\frac{1}{2}t  - \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}= -\frac{1}{2}t +\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)- \frac{\sin(\sqrt{2}t)}{2\sqrt{2}}.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 27 gru 2018, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
Dziękuje za wyjaśnienie zadania. Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie transformacji Laplace'a.  Anonymous  5
 Transformacja Laplace'a.  Anonymous  0
 Oryginał transformaty - jak wyznaczyć ?  piter71  11
 równanie różniczkowe Laplace  Mav  1
 2 uklady równan rozniczkowych z zagadnieniem Cauchy'ego  Aragornik120  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl