szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 13:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi OY , których jeden koniec leży na wykresie funkcji
f(x)=-\frac{2}{x},x<0, a drugi koniec leży na wykresie funkcji g(x)=-(x-2)^2,x\in\RR. Oblicz długość najkrótszego takiego odcinka.

Zaciąłem się na pewnym etapie... Zapewne należy tu zbudować funkcje z długości odcinka i obliczyć minimum lokalne. Więc niech K=(x,-(x-2)^2), P=(x,-\frac{2}{x}), |KP|=\sqrt{(x-x)^2-(-(x-2)^2-(-\frac{2}{x}))^2}=\sqrt{0-(-(x-2)^2+\frac{2}{x})^2}=\sqrt{((x-2)^2-\frac{2}{x})^2}=|(x-2)^2-\frac{2}{x}|
I tu jest mój problem bo równie dobrze |KP|=|\frac{2}{x}-(x-2)^2| No i co dalej |KP|=\frac{2}{x}-(x-2)^2 czy |KP|=(x-2)^2-\frac{2}{x}?
Obstawiam, że odpowiedź jest banalna, lecz ja nie widzę jej na ten moment.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:12 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Ostatnie bo przecież w zadaniu masz x ujemne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
piasek101 napisał(a):
Ostatnie bo przecież w zadaniu masz x ujemne.

Mógłbyś rozwinąć swoją myśl? Domniemam, że chodzi o to gdy opuszczę pierwsza wartość bezwzględna i zmienię znak bo x<0. Tylko co jeśli zamienię moje współrzędne miejscami bo przecież nie wiem które gdzie się znajduje i wartość bezwzględna bezie miała odwrotna postać i wtedy gdy opuszczę wartość bezwzględna bo x<0 to tez będzie miała inna postać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Skoro |KP|=\left |(x-2)^2-\frac{2}{x}\right| i wiesz, że x<0 to pierwszy składnik między kreskami jest dodatni i drugi też. Zatem znikasz kreski bo cała zawartość modułu jest dodatnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
A co jeśli bym ustalił K=(x,-\frac{2}{x}), P=(x,-(x-2)^2)
wtedy
|KP|=\sqrt{(x-x)^2-((-\frac{2}{x})+(x-2)^2)^2}=\sqrt{0-(-\frac{2}{x}+(x-2)^2)^2}=\sqrt{(\frac{2}{x}-(x-2)^2)^2}=|\frac{2}{x}-(x-2)^2|
Chodzi mi o to, że skąd wiem który odcinek jest poprawny? skoro współrzędne w tym mogę zamienić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 16531
Lokalizacja: Bydgoszcz
A wpadłeś może na to, żeby to narysować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 15:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
a4karo napisał(a):
A wpadłeś może na to, żeby to narysować?

Tak wykres f(x)=-\frac{2}{x} jest wyżej nad wykresem g(x)=-(x-2)^2 dla x<0
Więc jeśli oba punkty mają tą samą pierwsza współrzędną to druga współrzędna f(x)=-\frac{2}{x} będzie miała większą wartość od drugiej współrzędnej g(x)=-(x-2)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 16531
Lokalizacja: Bydgoszcz
I to powinno Ci wystarczyć :). Długość tego odcinka wynosi zatem ... ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Bratower napisał(a):
A co jeśli bym ustalił K=(x,-\frac{2}{x}), P=(x,-(x-2)^2)
wtedy
|KP|=\sqrt{(x-x)^2-((-\frac{2}{x})+(x-2)^2)^2}=\sqrt{0\red -(-\frac{2}{x}+(x-2)^2)^2}\black=\sqrt{(\frac{2}{x}-(x-2)^2)^2}=|\frac{2}{x}-(x-2)^2|
Chodzi mi o to, że skąd wiem który odcinek jest poprawny? skoro współrzędne w tym mogę zamienić?

Tu (czerwone) miałeś ujemną wartość pod pierwiastkiem - czyli tak nie mogłeś.
(dalej nie zachowałeś kolejności działań - ale to szczegół)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 21:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
piasek101 napisał(a):
Tu (czerwone) miałeś ujemną wartość pod pierwiastkiem - czyli tak nie mogłeś.
(dalej nie zachowałeś kolejności działań - ale to szczegół)

Faktycznie czyli wychodzi na to, że to jest wszystko źle do tej pory, muszę to jeszcze przemyśleć i odpiszę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 gru 2018, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Po prostu masz błąd we wzorze na długość odcinka (na początku nie zwróciłem na to uwagi) - tam na środku (pod pierwiastkiem) powinien być plus.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 00:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 102
Lokalizacja: Olsztyn
_________________edit___________
(tam coś źle wzór zastosowałem tak myśle)
To zacznę od początku niech
A=(x,-\frac{2}{x}), B=(x,-(x-2)^2)=(x,-x^2+4x-4), |AB|=\sqrt{(x-x)^2{\red+}(-\frac{2}{x}-(-x^2+4x-4))^2}=\sqrt{0{\red +} (-\frac{2}{x}+x^2-4x+4)^2}=|-\frac{2}{x}+x^2-4x+4|=|-\frac{2}{x}+(x-2)^2|
Dobra na tym etapie przyda się komentarz rozpatrujemy x<0 więc -\frac{2}{x} dla x<0 jest na pewno dodatnie, a drugie (x-2)^2 zawsze nieujemne... więc moge opuścić w tym momencie wartość bezwzględna
Czyli mam do rozpatrzenia funkcje w postaci (po opuszczeniu wartości bezwzględnej)
k(x)-\frac{2}{x}+(x-2)^2\\k'(x)=\frac{2}{x^2}+2x-4\\k'(x)=0\iff \frac{2}{x^2}+2x-4=0\wedge x<0\Rightarrow x = \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}\\k(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})=-\frac{2}{\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}}+(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}-2)^2=-\frac{4}{1-\sqrt{5}}+(1\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})^2=1+\sqrt{5}+(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})^2=1+\sqrt{5}+\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}=\frac{9}{2}+\frac{5\sqrt{5}}{2}=\boxed{\frac{1}{2}(9+5\sqrt{5})}
Wydaję mi się, że doczołgałem się końca zadania :)(dziękuję a4karo, piasek101)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Doprecyzowanie : (x-2)^2 jest (tu) zawsze dodatnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 12:56 
Użytkownik

Posty: 2459
Lokalizacja: Warszawa
Zrobiłbym to tak:

Oznaczmy przez d(x) odległość (po ygrekach) między tymi funkcjami. Mamy wówczas:

d(x)= f(x)-g(x)= \frac{-2}{x}+(x-2)^2

Policzmy minimum tej funkcji dla x<0

d'(x)= \frac{2}{x^2}+2(x-2)= \frac{2+2x^2(x-2)}{x^2}

d'(x)=0 gdy

2x^3-4x^2+2=0 Łatwo zgadnąć, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x=1

Wobec tego można rozłożyć ten wielomian na czynniki, co wygląda tak:

(x- \frac{1- \sqrt{5}}{2} )(x-1)(x- \frac{1+ \sqrt{5}}{2} )=0

Interesują nas tylko pierwiastki ujemne, stąd wniosek, że x_{min}=\frac{1- \sqrt{5}}{2}

No to

d_{min}=d(\frac{1- \sqrt{5}}{2})= \frac{-2}{\frac{1- \sqrt{5}}{2}}+(\frac{1- \sqrt{5}}{2}-2)^2= \frac{-4(1+ \sqrt{5}) }{-4}+\left( \frac{-3- \sqrt{5} }{2}\right)^2= \\ = 1+ \sqrt{5}+ \frac{7+3 \sqrt{5} }{2}= \frac{11+5 \sqrt{5} }{2}

o ile się nie rąbnąłem w rachunkach. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 22925
Lokalizacja: piaski
Wszystko już było zrobione - nie wiem po co to pisałeś.

Dilectus napisał(a):
= 1+ \sqrt{5}+ \frac{7+3 \sqrt{5} }{2}= \frac{11+5 \sqrt{5} }{2}
o ile się nie rąbnąłem w rachunkach. :)

Na samym końcu.
Autor (powtarzam się) wszystko ładnie pokazał.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa punkty dzielą odcinek na trzy równe odcinki  Roudin  2
 Odcinek laczacy krawedzie 2 okregow  Vladq  2
 Czy odcinek przecina plaszczyzne trójkata w przestrzeni  2gatunek  0
 Dany odcinek - wyznacz współrzędne punktu  matematykapl  1
 Oblicz pole i obwód kwadrata ktorego przekątną jest odcinek  kkasikka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl