szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 03:42 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Rozwiązać układ równań przy użyciu transformaty Laplace’a.
\begin{cases}  x' +y' -x = 1 \\ x' + 2y' = 0 \end{cases}
x(0) = 0 \\ \\  y(0) = 1


X(s)=L\{x(t)\}
Y(s)=L\{y(t)\}

L\{x'(t)\}=sX(s)-x(0)=sX(s)
L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1

(s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac{1}{s}
sX(s)+2sY(s)=-2

Ale niestety nie wiem co dalej :/
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 09:45 
Użytkownik

Posty: 4787
Wyznaczamy z X(s), Y(s) i ich transformaty odwrotne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 14:00 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Czyli robię coś takiego?
sX(s)+2sY(s)=-2
sY(s)=-1-\frac{sX(s)}{2}
(s-1)X(s)+sY(s)=1+\frac1s
(s-1)X(s) -1-\frac{sX(s)}{2} = 1 + \frac1s
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 gru 2018, o 15:40 
Użytkownik

Posty: 4787
\begin{cases} (s-1)X(s) + sY(s) = \frac{1}{s}+ 1 \\ sX(s) + 2s Y(s) =-2 \end{cases}

Mnożymy pierwsze równanie przez -2 i dodajemy równania stronami:

-2(s -1)X(s)+sX(s) = -2 -\frac{2}{s} -2

-2sX(s)+2X(s)+sX(s) = -4 - \frac{2}{s}

2X(s)-sX(s) = -4 - \frac{2}{s}

-X(s)(s-2) = -4 -\frac{2}{s}

X(s)(s-2) = 4 +\frac{2}{s}

X(s) = \frac{4}{s-2} + \frac{2}{s(s-2)} = \frac{4}{s-2}- \frac{1}{s}+ \frac{1}{s-2} \ \ (1)

Podstawiamy równanie pierwsze na przykład do drugiego układu:

s\left( \frac{4}{s-2}+\frac{2}{s(s-2)} \right) +2Y(s) = -2

\frac{4s}{s-2} +\frac{2}{s-2} + 2Y(s) = -2

\frac{4s +2}{s+2} +2Y(s) = -2

2Y(s) = -2 -\frac{4s+2}{s - 2}

2Y(s) = \frac{-2s +4 -4s -2}{s-2}

2Y(s) = \frac{-6s +2}{s-2}

Y(s) = \frac{-6s +2}{2(s-2)}

Y(s) = \frac{-3s+1}{s-2} = -\frac{3s}{s-2} +\frac{1}{s-2} = -3\left(1 +\frac{2}{s-2}\right)+\frac{1}{s-2}\ \ (2)

Znajdujemy oryginały transformat (1),  (2), korzystając z własności addytywności i jednorodności odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

x(t)=\mathcal{L}^{-1}[X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2} -\frac{1}{s} +\frac{1}{s-2)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{4}{s-2}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}}\right]+\\ + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1}{s-2}\right]

x(t) = 4e^{2t} -1 + e^{2t} = 5e^{2t} - 1.

y(t)=\mathcal{L}^{-1}[Y(s)] =\mathcal{L}^{-1}\left[-3\left(1+\frac{2}{s-2}\right) \right] + \frac{1}{s-2}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[ -3\left( 1+\frac{2}{s-2}\right)\right] +\\+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]

y(t) = -3\delta(t) - 6e^{2t} +e^{2t} = -3\delta(t) - 5e^{2t}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie transformacji Laplace'a.  Anonymous  5
 Transformacja Laplace'a.  Anonymous  0
 równanie różniczkowe Laplace  Mav  1
 Rozwiąż równ rózniczkowe 1 stopnia - dziekuje za wsparcie  BArtox  1
 Rozwiąż równanie - zadanie 113  pumas  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl