szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera

t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 20:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3696
Lokalizacja: blisko
t=e^z

\frac{dt}{dz}=e^z=t

t \frac{dy}{dt}=t \frac{dy}{dz}  \frac{dz}{dt}=t \frac{dy}{dz}t^{-1}= \frac{dy}{dz}

t^2y''=t^2 \frac{d}{dt}\left(  \frac{dy}{dt} \right)=t^2 \frac{dz}{dt}  \frac{d}{dz}\left(  \frac{dy}{dz}  \frac{dz}{dt} \right)=

=t^2 \frac{1}{t} \frac{d}{dz}\left(  \frac{dy}{dz} \cdot  \frac{1}{t}  \right)=e^z \frac{d}{dz}\left(  \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=e^z\left(  \frac{d^2y}{dz^2}e^{-z}- \frac{dy}{dz}e^{-z}  \right)=

\frac{d^2y}{dz^2}- \frac{dy}{dz}

po podstawieniu do wyjściowego masz:

y''-y'+y'=4y+10e^z

y''-4y=10e^z
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
fluffiq napisał(a):
t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t

t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t
t^{2}y'' + ty' - 4y = 0
y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
kerajs napisał(a):
fluffiq napisał(a):
t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t

t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t
t^{2}y'' + ty' - 4y = 0
y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}


I to by byłoby na tyle? Czy jeszcze coś trzeba tu policzyć?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 21:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3696
Lokalizacja: blisko
Po uzmiennieniu mamy:

y=C_{1}(z)e^{-2z}+C_{2}(z)e^{2z}

W=4

C_{1}(z)=- \frac{5}{6}e^{3z}+A

C_{2}(z)=- \frac{5}{2}e^{-z}+B

po przejściu do starych zmiennych mamy:

y=- \frac{10}{3}t+At^{-2}+Bt^2
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2019, o 15:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podstawienie Arka jest wygodne w użyciu bo nie trzeba zgadywać rozwiązania
gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone lub gdy się powtarzają
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Oryginał transformaty - jak wyznaczyć ?  piter71  11
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równania różniczkowe - zadanie 12  intel86  6
 2 proste równania rózniczkowe  rucio  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl