szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 gru 2018, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Rozwiązać układ równań różniczkowych metodą współczyników nieoznaczonych i metodą przewidywań:

X' = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right]X + \left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right]
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 sty 2019, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
X' = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right]X + \left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right]

\left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right] = X' - \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right]X

X_{p}(t) = \left[\begin{array}{c}{a_{1}&a_{2}&a_{2}\end{array}\right]t^{2}+\left[\begin{array}{c}{b_{1}&b_{2}&b_{2}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}{c_{1}&c_{2}&c_{2}\end{array}\right]

\left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}{2a_{1}&2a_{2}&2a_{2}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}{b_{1}&b_{2}&b_{2}\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right] \cdot \Biggr( \left[\begin{array}{c}{a_{1}&a_{2}&a_{2}\end{array}\right]t^{2}+\left[\begin{array}{c}{b_{1}&b_{2}&b_{2}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}{c_{1}&c_{2}&c_{2}\end{array}\right]  \Biggr)

\left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}{2a_{1}&2a_{2}&2a_{2}\end{array}\right]t +\left[\begin{array}{c}{b_{1}&b_{2}&b_{2}\end{array}\right] -  \Biggr( \left[\begin{array}{c}{a_{1}-a_{2}-2a_{3}&a_{1}+3a_{2}+2a_{3}&a_{1}-a_{2}+2a{3}\end{array}\right]t^{2} + \left[\begin{array}{c}{b_{1}-b_{2}-2b_{3}&b_{1}+3b_{2}+2b_{3}&b_{1}-b{2}+b{3}\end{array}\right]t^{2} + \left[\begin{array}{c}{c_{1}-c_{2}-2c_{3}&c_{1}+3c_{2}+2c_{3}&c_{1}-c{2}+c{3}\end{array}\right]      \Biggr)


\left[\begin{array}{c}1&0&0\end{array}\right]t^{2} + \left[\begin{array}{c}0&1&0\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}0&1&2\end{array}\right]

-\left[\begin{array}{c}{a_{1}-a_{2}-2a_{3}&a_{1}+3a_{2}+2a_{3}&a_{1}-a_{2}+2a_{3}\end{array}\right]t^{2} + \left[\begin{array}{c}{2a_{1}-b_{1}+b_{2}+2b_{3}&2a_{2}-b_{1}-3a_{2}-2_b_{3}&2a_{3}-b_{1}+b_{2}+2b_{3}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}{b_{1}-c_{1}+c_{2}+2c_{3}&b_{2}-c_{1}-3c_{2}-2c_{3}&b_{3}-c_{1}+c_{2}-2c_{3}\end{array}\right]

\begin{cases} -a_{1}+a_{2}+2a_{3} = 1 \\ -a_{1}-3a_{2}-2a_{3}=0 \\ -a_{1}+a_{2}-2a_{3}=0  \end{cases}

\begin{cases}   a_{1} = -2a_{3} = -\frac{1}{2} \\ a_{2} = 0 \\ a_{3} = \frac{1}{4}  \end{cases}
czyli:
\left[\begin{array}{c}{a_{1}&a_{2}&a_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{4}\end{array}\right]

\begin{cases}2a_{1}-b_{1}+b_{2}+2b_{3} = 0 \\ 2a_{2}-b_{1}-3a_{2}-2_b_{3} = 1\\ 2a_{3}-b_{1}+b_{2}+2b_{3} = 0\end{cases}
2a_{1}-b_{1}+b_{2}+2b_{3} - 2a_{2}+b_{1}+3a_{2}+2_b_{3} = 0
4b_{2} + 4b_{3} = 0
b_{2} = -b_{3}


1 - 4b_{3} = -\frac{1}{2}
-4b_{3} = -\frac{3}{2}
b_{3} = \frac{3}{8}
b_{1} = -\frac{5}{8}
b_{2} = -\frac{3}{8}
czyli:
\left[\begin{array}{c}{b_{1}&b_{2}&b_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{3}{8}\end{array}\right] \\
czyli:
\left[\begin{array}{c}{c_{1}&c_{2}&c_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\frac{27}{16}&-\frac{1}{16}&\frac{-9}{16}\end{array}\right] \\


Stad :

X_{p}(t) = \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{4}\end{array}\right]t^{2}+\left[\begin{array}{c}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{3}{8}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}-\frac{27}{16}&-\frac{1}{16}&\frac{-9}{16}\end{array}\right]

Obliczmy:

X_{h}(t) = ?

X' = Ax
\frac{1}{x} \mbox{d}x  = A \mbox{d}t
\ln{|x|} = At + C
|x| = e^{c} \cdot e^{At}
x =  \pm e^{c} \cdot e^{At}
czyli:
X_{h}(t) = Ce^{At} \\

Ostatecznie: X = X_{h}(t) + X_{p}(t) \\

czyli:
X = Ce^{At} + \Biggr(\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{4}\end{array}\right]t^{2}+\left[\begin{array}{c}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{3}{8}\end{array}\right]t + \left[\begin{array}{c}-\frac{27}{16}&-\frac{1}{16}&\frac{-9}{16}\end{array}\right] \Biggr)


Rozwiązałem to taka metoda, ktos jest w stanie powiedzieć jak to rozwiązać tą drugą?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jednorodne liniowe metodą Laplace'a  ori-jackass  2
 Rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 21  Czingisham  4
 Metoda Heuna w Maximie  Tomasz271000  0
 metoda podstawienia  refuss  1
 Transformata odwrotna metodą splotu.  SPQR_94  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl