szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2018, o 23:48 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
y'=\frac{x^2+y^2}{xy}-\frac{x^2}{y^2}-2
Jakie podstawienie tu zastosować?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2018, o 23:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
y=xz

y'=z+xz'

I masz rozwiązane...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:12 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
hm...
z+z'x=\frac{x^2+x^2z^2}{x^2z}-z^2-2
z+z'x=\frac{1+z^2}{z}-z^2-2
z'x=\frac{1}{z}-z^2-2
\frac{xdz}{dx}=\frac{1-z^3-2z}{z}
\frac{zdz}{1-z^3-2z}=\frac{dx}{x}
i wychodzi dziwna całka, a przecież zależy nam na wyliczeniu z?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
W równaniu różniczkowym raczej chodzi o rozwiązanie go a nie wyliczeniu jakiejś zmiennej to czasem się ciut różni...

I radzę Ci właśnie rozwiązać tę całkę co nie jest czymś niezwykłym...

Masz mały błąd zamiast z^2 winno być:

\frac{1}{z^2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
no tak, ale krokiem prowadzącym do rozwiązania jest wyliczenie z
wolfram wypluwa coś paskudnego, stąd moje wątpliwości
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
jest wyliczenie z


Wcale to nie musi być prawdą...

Przeważnie rozwiązaniem równania różniczkowego jest rodzina krzywych...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Warszawa
zatem mamy
z'x=\frac{z-1-2z^2}{z^2} \\
 \frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{z^2\mbox{d}z}{z-1-2z^2} \\
 \ln |x|=\frac{1}{56}\left(6\sqrt{7}\arctan \frac{4z-1}{\sqrt{7}}-7\left( \ln \left(2z^2-z+1\right)+4z\right)\right)
co dalej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 00:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Podstaw za:

z= \frac{y}{x}

I masz koniec...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 gru 2018, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Polska
arek1357, A czy możesz pokazać jak ten koniec wygląda ? Bo zastosowałem to podstawienie i również znajduję tam aż nazbyt ciekawą całkę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 gru 2018, o 00:25 
Użytkownik

Posty: 4743
y' = \frac{x^2 + y^2 }{x\cdot y} -\frac{x^{2}}{y^2} - 2 \ \ (0)

y' = \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} - \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 2

Jest to równanie postaci:

y' = g\left(\frac{y}{x}\right) \ \ (1)

W literaturze równania tego typu nazywane są równaniami jednokładności (skali jednokładności).

Jeśli podstawimy w = \frac{y}{x}, to prawa strona równania (0) jest postaci:

g(w) = w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 \ \ (2)

D = \left \{(x, y): x\neq 0 , y\neq 0, c <  \frac{y}{x}< d \right\}.

Celem rozwiązania równania (0) wprowadzamy pomocniczą funkcję niewiadomą:

w = \psi(x) = \frac{\phi(x)}{x}, gdzie y = \phi(x)

Mamy więc \phi(x) = x\cdot \psi(x) oraz \phi'(x) = \psi(x) +x\cdot \psi'(x)

Wstawiając do równania (1) - otrzymujemy

\psi(x) +x\cdot \psi'(x) = g(\psi(x))

czyli

\psi'(x) = \frac{g(\psi (x)) -\psi(x)}{x}

Równanie (1) sprowadziliśmy więc do równania:

w' = \frac{g(w) - w}{x} \ \ (3)

Podstawiamy (2) do (3)

w' = \frac{w + \frac{1}{w} - \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 - w}{x}

w' = \frac{\frac{1}{w} -  \left(\frac{1}{w}\right)^2 - 2 }{x}

w' = \frac{1}{w\cdot x} + \frac{1}{w^2\cdot x} -\frac{2}{x}

w' = \frac{-2w^2 +w +1}{w^2\cdot x} \ \ (4)

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się:

\frac{w^2\cdot w'}{-2w^2 +w+1} = \frac{1}{x}

\left( -\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}w + \frac{1}{2}}{-2(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w'  = \frac{1}{x}

\left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\left( \frac{w+1}{(w-1)(w+\frac{1}{2})}\right)\cdot w' = \frac{1}{x}

\left(-\frac{1}{2} -\frac{1}{4}\left( \frac{\frac{4}{3}}{w-1} -\frac{\frac{1}{3}}{w+\frac{1}{2}} \right) \right) \cdot w'  = \frac{1}{x} \ \ (5)

Podstawiamy różniczkę w'dx = dw i całkujemy obustronnie równanie (5)względem x, otrzymując:

-\frac{1}{2}w -\frac{1}{3}\ln|w-1| +\frac{1}{12} \ln |w+\frac{1}{2}| = \ln |x| + C


-\frac{1}{2}w -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|w-1|^4}{|x|\cdot |w+\frac{1}{2}|}\right)= C.

Kładąc w = \frac{y}{x}, otrzymujemy całkę ogólną równania (0)

-\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{x}  -\frac{1}{12}\ln \left( \frac{|\frac{y}{x}-1|^4}{|x| \cdot |\frac{y}{x}+\frac{1}{2}|}\right) = C.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe - zadanie 30  michalk  1
 równanie rozniczkowe - zadanie 2  piterr1910  3
 Równanie rózniczkowe - zadanie 7  magbar  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl