szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2018, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
y'' + 5y' + 6y = f_{(t)}

y_{(0)} = 0

y'_{(0)} = 2

gdzie

f_{(t)} =  \begin{cases} 3, 0  \le t < 6 \\ 0, t  \ge 6 \end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 gru 2018, o 01:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Jak już wspomniałeś o transformacie Laplace'a, to z tego łatwo idzie (i ze wzorów na transformatę pochodnej itd.).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 gru 2018, o 16:58 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Premislav napisał(a):
Jak już wspomniałeś o transformacie Laplace'a, to z tego łatwo idzie (i ze wzorów na transformatę pochodnej itd.).


Właśnie mam problem z tym że nie bardzo umiem zacząć robić to zdanie. Bo chyba można to robić schematycznie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 gru 2018, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
No to przecież użycie transformaty Laplace'a to schemat jak nic.

y'' + 5y' + 6y = f_{(t)}
Transformujemy obie strony, tj.
\mathcal{L}\left\{y'' + 5y' + 6y \right\} =\mathcal{L}\left\{ f_{(t)} \right\}
Po prawej mamy więc
\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}\,\dd t= \int_{0}^{6} 3e^{-st}\,\dd t+ \int_{6}^{+\infty}0e^{-st}\,\dd t=\\=\frac 3 s-\frac 3 s e^{-6s}
Natomiast jeśli chodzi o lewą stronę, to korzystamy z liniowości transformaty Laplace'a i z:
\mathcal{L}\left( f^{(n)}(t)\right) =s^nF(s)- \sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)
mamy
\mathcal{L}\left\{y'' + 5y' + 6y \right\}=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+5sF(s)-5y(0)+6F(s)=\\=(s^2+5s+6)F(s)-2
gdzie F(s) jest transformatą Laplace'a funkcji y.
Czyli
F(s)= \frac{\frac 3 s-\frac 3 se^{-6s}+2}{s^2+5s+6}= \frac{3-3e^{-6s}+2s}{s(s+2)(s+3)}
No i teraz chcemy znaleźć transformatę odwrotną.
Ten fragment
\frac{2s+3}{s(s+2)(s+3)}
to się łatwo rozkłada na ułamki proste, natomiast jeśli chodzi o
\frac{-3e^{-6s}}{s(s+2)(s+3)},
to zapewne wypadałoby skorzystać z twierdzenia Borela o splocie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązać problem początkowy  Magda0601  11
 równanie różniczkowe, rozwiązać metodą uzmienniania stałej  tyrdax  5
 Równanie różniczkowe - jak rozwiązać - zadanie 3  criserb  1
 o rozdzielonych zmiennych-problem z warunkiem początkowym  pan_x000  7
 Rozwiązać równanie różniczkowe - zadanie 8  danielk32  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl