szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 13:44 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wyszków
Cześć, czy mógłby ktoś rozwiązać, to równanie różniczkowe dla zadania:
Określić drgania wymuszone układu pod wpływem siły wymuszającej F(t), jeżeli w chwili początkowej układ spoczywał w położeniu równowagi x=0 \ i \ x'=0 \ dla \ F(t)=at

Nie musi być bardzo szczegółowo.

\frac{d^2x}{dx^2}+\omega^2x=  \frac{at}{m}

gdzie, a-amplituda, t-czas, x-polozenie, x'-predkosc, m-masa
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 14:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 971
Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
Dla niejednorodności w formie wielomianu przewidujemy całkę szczególną równania niejednorodnego jako wielomian tego samego stopnia przemnożony przez x^s, gdzie s jest krotnością zera jako pierwiastka charakterystycznego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wyszków
Okej okej, dzięki za podpowiedź. Nie chcę już rozwiązania na stronie, ale gdyby ktoś mógł sprawdzić, czy po wstawieniu warunków początkowych itp. to poprawny wynik:
x=\frac{at}{mw^2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 17:04 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 971
Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
To poprawny wynik jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 17:05 
Użytkownik

Posty: 16716
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wstaw i sprawdź :) Ale na oko to nie jest ani drganie ani tłumione
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 gru 2018, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 4944
x''(t) + \omega^2 x(t) =\frac{at}{m}\ \  (0)

Równanie (0) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego-niejednorodnym o stałych współczynnikach.

Znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego:

x''(t) +\omega^2 x(t) =0 \ \ (1)

Odpowiadające mu równanie charakterystyczne:

r^2 + \omega^2 =0  \ \ (2)

ma pierwiastki zespolone:

r_{1}= - \sqrt{\omega^2} = -\omega \cdot i,

r_{2} = \sqrt{\omega^2} = \omega\cdot i.

W takim razie rozwiązanie ogólne równania (2) ma postać:

x(t) = c_{1}\sin(\omega t) + c_{2}\cos(\omega t)

x(t) = c_{1}\left(\sin(\omega t) + \frac{c_{2}}{c_{1}} \cos(\omega t) \right)

Wprowadzając pomocniczy kąt \phi za pomocą zależności :

\frac{c_{2}}{c_{1}} = \tg(\phi)

otrzymamy:

x(t) = \frac{c_{1}}{\cos(\phi)}\left( \cos(\phi)\sin(\omega t) +\sin(\phi)\cos(\omega t)\right)

Oznaczając jeszcze:

\frac{C_{1}}{\cos(\phi)} = A mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci:

x_{o}(t) = A\sin(\omega t +\phi)\ \ (3)

Równanie (3) przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie A i fazie początkowej \phi.

Okres drgań T znajdujemy ze wzoru:

\omega(t+T) +\phi = \omega t +\phi + 2\pi

Skąd

T =\frac{2\pi}{\omega}

a więc częstotliwość kątowa:

\omega = \frac{2\pi}{T}.

Uwzględniając poprawnie wyznaczoną całkę szczególną równania niejednorodnego:

x_{s}(t) = \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}

Rozwiązanie ogólne równania (0)

x(t) = x_{o}(t) +x_{s}(t)= A\sin(\omega t +\phi) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}

Uwzględniamy warunki początkowe: x(0) = 0, \ \ x'(0) = 0, otrzymujemy:

x(t) = -\frac{a}{m\omega ^3}\sin(\omega t) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 gru 2018, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wyszków
Dziękuję za wyczerpujące rozwiązanie, ale mam jeszcze takie małe pytanko do CSRN nie do końca mam pewność czy dobrze ją wyznaczyłem czy miałem po prostu szczęście albo zbieg okoliczności, gdyż w innych nie bardzo mi, to wychodzi. Mógłbyś tak w ogólności nakreślić jej wyznaczanie?

Nie aktualne, poradziłem sobie. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dział Drgania harmoniczne - 2 zadania  Nenya  1
 Drgania - zadania  ama670  1
 Drgania tlumione  Zainteresowany92  3
 drgania swobodne i tłumione  Jachu  0
 Fale i drgania - zadanie 2  Sebulec  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl