szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 gru 2018, o 22:11 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Polska
Witam.
Mam za zadanie policzyć \oint_{C} \left( \frac{-y}{x ^{2}+ y^{2} } \right) \, dx + \left( \frac{x}{x^2+y^2} \right) \, dy,, gdzie C jest trójkątem o wierzchołkach w punktach \left( 0,1 \right) , \left( -1,0 \right) , \left( 2,-1 \right).
Pole nie jest potencjalne, w \mathbb{R}\setminus\lbrace \left( 0,0 \right) \rbrace, więc nie można korzystać z Greena.
Próbowałem policzyć to jako suma 3 całek skierowanych wyznaczając sobie odpowiednio proste od \left( -1,0 \right) do \left( 2,-1 \right), od \left( 2,-1 \right) do \left( 0,1 \right) i od \left( 0,1 \right) do \left( 1,-1 \right) i po parametryzacji wyszły mi 3 takie oto całki:
\int\limits_{0}^{-1} \frac{-1}{2x^2+2x+1}dx+ \int\limits_{2}^{0} \frac{2x-1}{2x^2-2x+1}dx+\frac{1}{3} \int \limits_{-1}^{2} \frac{x+1}{5x^2+2x+2}dx. Jednak po doliczeniu tych całek wychodzi mi zarówno arcus tangens jak i logarytm i wyniki są dosyć skomplikowane, a wiem od nauczyciela, że wynik powinien wyjść 2\pi. Stąd moje pytanie, czy mój sposób jest zły i czy można to zrobić w jakiś prostszy sposób? Podobno można jakąś parametryzację sprytną zastosować, będę wdzięczny za pomoc :)
Edit: Zadanie jest do zrobienia jutro, więc Będę bardzo proszę o szybką ktokolwiek wie :lol: :oops:

-- 11 gru 2018, o 11:24 --

Udało mi się policzyć metodą tych 3 całek, po prostu zapomniałem o pochodnych we wzorze na parametryzacje, po tym wszystko wyszło, temat do zamknięcia :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 gru 2018, o 12:27 
Użytkownik

Posty: 4740
Niech F(x,y) = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \ \  \frac{x}{x^2 +y^2} \right)

będzie polem wektorowym na płaszczyźnie \RR^2,

z której usunięto początek układu współrzędnych (0, 0).

Obliczymy pracę pola wektorowego F po trójkącie \gamma zorientowanym dodatnio o wierzchołkach:

(0,1), \ \ (-1, 0), \ \ (2,-1).

Forma pracy \omega^{1}_{F} tego pola dana jest wzorem:

\omega^{1}F  = -\frac{y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2 +y^2} dy.

Parametryzacja odcinków (boków trójkąta):

\gamma_{1}:  (0,1) \rightarrow (-1, 0): \ \ x(t) = -t \ \ y(t)= 1-t , \ \ 0\leq t \leq 1.

\gamma_{2} :  (-1,0) \rightarrow (2,-1): \ \ x(t) =-1+3t, \ \ y(t) = -t,\ \ 0 \leq t \leq 1.

\gamma_{3}: (2,-1) \rightarrow (0,1): \ \ x(t) = 2 -2t. \ \ y(t) = -1 +2t , \ \  0 \leq t \leq 1.


\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{\gamma_{1}} \omega^{1}F +\int_{\gamma_{2}} \omega^{1}F+ \int_{\gamma_{3}} \omega^{1}F.

\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{\gamma_{1}}\omega_{1}F(\gamma_{1})\cdot d(\gamma_{1}) =\int_{\gamma_{2}}\omega_{1}F(\gamma_{2})\cdot d(\gamma_{2}) +\int_{\gamma_{3}}\omega_{1}F(\gamma_{3})\cdot d(\gamma_{3}).


\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{0}^{1}\left[ \frac{-1+t}{t^2+(1-t)^2}, \frac{-t}{t^2+(1-t)^2}\right]\cdot \left[ -1, -1\right]dt +\int_{0}^{1}\left[ \frac{t}{(1+3t)^2+t^2}, \frac{-1+3t}{(1+3t)^2+t^2}\right]\cdot \left[ 3, -1\right]dt + \int_{0}^{1}\left[ \frac{1-2t}{(2-2t)^2+(-1+2t)^2}, \frac{2-2t}{(2-2t)^2+(-1+2t)^2}\right]\cdot \left[ -2,  2\right]dt

\int_{\gamma} \omega^{1}F = \int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+(1-t)^2}dt +  \int_{0}^{1}\frac{1}{(-1+3t)^2+t^2}dt +\int_{0}^{1}\frac{2}{(2-2t)^2 + (-1+2t)^2}dt

\int_{\gamma} \omega^{1}F = \frac{\pi}{2}  + \arctg(3) + \arctg(7)+ \frac{\pi}{4}+\arctg(3) 
=  \frac{\pi}{2}+ 2\arctg(3)+\arctg(7) + \\ +\frac{\pi}{4}= \frac{\pi}{2}+ \frac{3}{2}\pi =2\pi

Proszę sprawdzić.

Całka po jednostkowym okręgu - zorientowanym dodatnio pracy tego pola, też równa jest 2\pi.

Pozostało potwierdzenie wyniku 2\pi wzorem Greena.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 gru 2018, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 231
Lokalizacja: Poznań
Studniek napisał(a):
Pole nie jest potencjalne, w \mathbb{R}\setminus\lbrace \left( 0,0 \right) \rbrace, więc nie można korzystać z Greena.


Gdyby pole było potencjalne to całka po drodze zamkniętej by się zerowała, co z resztą również wychodzi z tw. Greena.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?  freeze2  1
 całka krzywoliniowa - zadanie 6  asiak1987  1
 całka zorientowana  asiak1987  1
 Całka krzywolinowa skierowana  batory1533  1
 Całka krzywoliniowa nieskierowana - zadanie 6  ekwi.pax  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl