szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 8 gru 2018, o 23:26 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8354
Lokalizacja: Wrocław
Unforg1ven napisał(a):
Zatem istnieje ciąg, (x_n) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny, z tw. podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.
Argument dotyczący rozbieżności ciągu (x_n) jest poprawny, ale można prościej: x_n jest swoim własnym podciągiem, a skoro każdy jego podciąg jest rozbieżny, to x_n jest rozbieżny jako jeden z takich podciągów.

Unforg1ven napisał(a):
Dowód \Leftarrow
[...] Skontrujemy, taki ciąg, że ma podciąg zbieżny(ma punkt skupienia) ale sam ciąg jest rozbieżny.
To za mało. Aby zaprzeczyć założeniu i tym samym zakończyć dowód \Leftarrow, powinieneś skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia. Nie wystarczy, żeby miał jakiś punkt skupienia, bo to nie wyklucza, że ma ich więcej.

Unforg1ven napisał(a):
Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w x_k
Nie piszesz, który podciąg jest stały (zapewne masz na myśli a_{2n}), ale jak dopiszesz, to otrzymasz, że x_5 jest punktem skupienia.

Unforg1ven napisał(a):
ciąg a_n jest rozbieżny, bo ciąg x_n nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy
Ta część jest chaotyczna. Rozbieżność ciągu x_n uzasadniłeś już wcześniej, a przytoczonego twierdzenia powinieneś tu użyć do pokazania rozbieżności ciągu a_n, poprzez wskazanie w nim rozbieżnego podciągu x_{2n-1} = a_{2n-1}. Przy okazji, gdy napisze się to w ten sposób, to widać, że ważna jest nie rozbieżność samego ciągu x_n, tylko podciągu x_{2n-1}, ale to na szczęście wiemy z założenia, że każdy podciąg ciągu x_n jest rozbieżny.

Unforg1ven napisał(a):
zatem dla każdego ciągu da się utworzyć podciąg zbieżny. Sprzeczność.
A skąd to nagle wywnioskowałeś?

Po naprawieniu powyższych usterek pozostanie do pokazania, że a_n nie ma żadnego punktu skupienia poza x_5. Wtedy dowód \Leftarrow zostanie zakończony przez wskazanie sprzeczności z założeniem, że każdy ciąg mający dokładnie jeden punkt skupienia jest zbieżny. Podpowiedź do tej części: ustal dowolny punkt skupienia tego ciągu i rozważ związany z nim podciąg a_{n_k}. Następnie rozpatrz dwa przypadki: kiedy nieskończenie wiele spośród indeksów n_k jest nieparzystych oraz kiedy prawie wszystkie są parzyste.

I jeszcze drobna uwaga - z powodu interpunkcji nie byłem do końca pewien, czy powyższy podział cytatu na części jest zgodny z jego strukturą logiczną. Jeśli chcesz, żeby Twoje dowody były czytelne, musisz między innymi stosować poprawną interpunkcję.


Unforg1ven napisał(a):
Dówód w \Rightarrow
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
To nie ma sensu. Przecież wskazówka odnosiła się do kierunku \Leftarrow...

Unforg1ven napisał(a):
Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Powtarzam pytanie: jakiej tezie zaprzeczasz w tym miejscu?

Unforg1ven napisał(a):
Jeśli ciąg nie ma punktów skupienia, to możemy przy jego użyciu skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia, co daje sprzeczność z założeniem.
Jakim założeniem? Przecież podobno to jest dowód \Rightarrow.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 sty 2019, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 288
Lokalizacja: Włocławek
Dobra jeszcze jedna próba do tego zadania...

Dla czystości dowodu zapiszę lemat 1 :
Podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.

Dowód Nie wprost \Leftarrow
Zakładamy, że przestrzeń X nie jest zwarta.Zatem istnieje ciąg,(x_n) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny z lematu 1. [Wniosek (2)]

Żeby zaprzeczyć tezie skontrujemy, taki ciągu że ma ,jakiś punkt skupienia ale sam ciąg jest rozbieżny, oraz pokażemy że ma dokładnie jeden punkt skupienia(czyli nie istnieje podciąg zbieżny do innego punktu)


Bierzemy rozbieżny ciąg (x_n)
Ustalamy jakieś k\in\mathbb{N} np. k=5
Niech a_n=x_k, kiedy n=2l, l\in\mathh{N}
oraz a_n=x_n w pozostałych przypadkach.

Zatem podciąg a_{2n} jest stały, zatem punktem skupienia jest x_5.

Trzeba pokazać że ciąg (x_n) nie posiada innego punktu skupienia niż x_5 (2)

Dowód nie wprost (3)
Załóżmy że istnieje inny punkt skupienia niż x_5. .
Zatem istnieje podciąg a_{n_{k}} zbieżny do tego punktu.

Wolno nam rozważać podciągi o skończonej liczbie wyrazów typu a_{2k} ,gdyż jeżeli posiada nieskończoną liczbę tego rodzaju wyrazów to albo posiada granicę w x_5 albo jest rozbieżny(4).
(4) Dowód nie wprost.
Zakładając że ma granicę w innym punkcie niż x_5 , dostajemy sprzeczność od razu na mocy lematu (1), gdyż można utworzyć podciąg zbieżny do x_5, a nie jest zbieżny do x_5

Skoro mamy skończoną liczbę wyrazów typu a_{2k} to od pewnego miejsca podciągi przyjmuje tylko wyrazy typu a_2k+1.
Pokazaliśmy że prawie wszystkie, {n_{k}} muszą być nieparzyste ,zatem ich nieskończenie wiele zatem ciąg a_{n_{k}} jest rozbieżny na mocy lematu 1 bo można utworzyć podciąg rozbieżny biorąc nieparzyste n_k. Sprzeczność. Dostajemy dowód (3).

Co kończy dowód poprzez sprzeczność z wnioskiem (2). Uff......

Muszę pomyśleć nad dowodem \Rightarrow

-- 8 sty 2019, o 21:35 --

Unforg1ven napisał(a):
Dobra jeszcze jedna próba do tego zadania...

Dla czystości dowodu zapiszę lemat 1 :
Podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.

Dowód Nie wprost \Leftarrow
Zakładamy, że przestrzeń X nie jest zwarta.Zatem istnieje ciąg,(x_n) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny z lematu 1. [Wniosek (2)]

Żeby zaprzeczyć tezie skontrujemy, taki ciągu że ma ,jakiś punkt skupienia ale sam ciąg jest rozbieżny, oraz pokażemy że ma dokładnie jeden punkt skupienia(czyli nie istnieje podciąg zbieżny do innego punktu)


Bierzemy rozbieżny ciąg (x_n)
Ustalamy jakieś k\in\mathbb{N} np. k=5
Niech a_n=x_k, kiedy n=2l, l\in\mathh{N}
oraz a_n=x_n w pozostałych przypadkach.

Zatem podciąg a_{2n} jest stały, zatem punktem skupienia jest x_5.

Trzeba pokazać że ciąg (x_n) nie posiada innego punktu skupienia niż x_5 (2)

Dowód nie wprost (3)
Załóżmy że istnieje inny punkt skupienia niż x_5. .
Zatem istnieje podciąg a_{n_{k}} zbieżny do tego punktu.

Wolno nam rozważać podciągi o skończonej liczbie wyrazów typu a_{2k} ,gdyż jeżeli posiada nieskończoną liczbę tego rodzaju wyrazów to albo posiada granicę w x_5 albo jest rozbieżny(4).
(4) Dowód nie wprost.
Zakładając że ma granicę w innym punkcie niż x_5 , dostajemy sprzeczność od razu na mocy lematu (1), gdyż można utworzyć podciąg zbieżny do x_5, a nie jest zbieżny do x_5

Skoro mamy skończoną liczbę wyrazów typu a_{2k} to od pewnego miejsca podciągi przyjmuje tylko wyrazy typu a_2k+1.
Pokazaliśmy że prawie wszystkie, {n_{k}} muszą być nieparzyste ,zatem ich nieskończenie wiele zatem ciąg a_{n_{k}} jest rozbieżny na mocy lematu 1 bo można utworzyć podciąg rozbieżny biorąc nieparzyste n_k. Sprzeczność. Dostajemy dowód (3).

Co kończy dowód poprzez sprzeczność z wnioskiem (2). Uff......

Muszę pomyśleć nad dowodem \Rightarrow


-- 8 sty 2019, o 21:48 --

Nie wiem jak to zrobiłem ale sam się zacytowałem a teraz nie mogę tego edytować z powrotem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jest to przestrzena metryczna jesli spelnione sa warunki...  Naiya  4
 (2 zadania) Wykazać, że t\A jest topologia itp.  DominikaWarzech  1
 Odległość hausdorffa jest metryką!  mada  0
 Każdy zbiór skończony jest zbiorem domkniętym.  marcia07  8
 Czy zbiór jest spójny??  magda2530  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl