szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 gru 2018, o 12:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Witam . Prosił bym o pomoc w rozwiązaniu zadania z rachunku różniczkowego ;)

Zad .
Butelka wody w temperaturze początkowej 25 C umieszczona w lodówce o temperaturze wewnętrznej 5 C
.Biorąc pod uwagę że temperatura wody wynosiła 20 C dziesięć minut po umieszczeniu w lodówce ,jaka będzie temperatura wody po godzinie ?

Z góry dziękuje .
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 gru 2018, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 4951
Prawo stygnięcia Newtona

Szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem i otoczeniem.

Oznaczmy przez T(t) temperaturę butelki z wodą w chwili t , przy czym spełnione są równania:

T(0)= 25^{o}C.

T(10) = 20^{o}C.

Niech k oznacza współczynnik proporcjonalności.

Dla dostatecznie małej liczby \Delta t zachodzi przybliżona równość:

\frac{T(t+\Delta t) - T(t)}{\Delta T} \approx k( T(t) - 5)

Przy przejściu do granicy przy \Delta T \rightarrow 0 otrzymujemy równanie różniczkowe

T'(t) = k(T(t) - 5)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

k\cdot t + C = \int k\cdot dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt  = \int \frac{dT}{T- 5}= \ln(|T- 5|)

Z treści zadania wynika, że T > 5.

Wobec tego T - 5 = T(t) -5 = e^{C}\cdot e^{kt}

Mamy 25 = T(0) = 5+  e^{C}\cdot e^{0\cdot t} \ \ (1)

oraz

20  = 5 +  e^{C}\cdot e^{k\cdot 10} \ \ (2)

Z równań (1),  (2)

e^{C} = 20 i 15 = 20 e^{k\cdot 10}, \ \ k = \frac{1}{10}\ln(0,75),\ \  k\approx -0,03.

T(t) = 5 + 20 e^{-0,03\cdot t}

Temperatura wody w butelce po 1 godzinie wynosi:

T(60) = 5 +20e^{-0,03 \cdot 60}\approx 8^{o}C.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl