szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 1 gru 2018, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
Znaleźć równanie krzywej o tej własności, że promień krzywizny jest proporcjonalny do długości normalnej.
Promień krzywizny krzywej y(x) określony jest wzorem

R =  \frac{(1+y'^2)^ \frac{3}{2} }{\left| y''\right| }

Długość normalnej jest to długość odcinka na normalnej do krzywej, łączącego punkt na krzywej z punktem przecięcia normalnej z osią Ox.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 gru 2018, o 17:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 574
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Rozumiem, że ograniczamy się do krzywych planarnych które są wykresami funkcji? Jeśli tak to bierzesz krzywą \gamma(t)=(t,f(t)) i starasz znaleźć warunki jakie musi spełniać f. Masz zatem w każdym "czasie"t liczbę R_{\gamma}(t)=R(t)=\frac{(1+f'(t)^2)^{3/2}}{|f''(t)|} jak zapewne wiesz, jest to długość okręgu ściśle stycznego do \gamma w t. To co musisz zrobić to wyliczyć równanie prostej normalnej N_{t}(s) do \gamma w czasie t. Równanie tej prostej ma postać N_t(s)=- \frac{s-t}{f'(t)}+f(t)\right). Interesuje Cię argument s dla którego prosta N_t przecina oś OX. Musisz więc rozwiązać równanie N_t(s)=0, powinno wyjść, że s=f(t)f'(t)-t. Zatem punkty wyznaczające końce interesującego Cię odcinka to: P_1(t)=(t,f(t)),P_2(t)=(f(t)f'(t)-t,0). To co pozostaje to wyliczyć długość d(t) odcinka \overline{P_1(t)P_2(t)} i rozwiązać równanie na proporcjonalność, tzn. aby dla stałej \lambda \in \mathbb{R} i każdego t zachodziła równość: R(t)=\lambda d(t). Tak więc będziesz musiała zmierzyć się z równaniem różniczkowym ^^
Góra
Kobieta
PostNapisane: 2 gru 2018, o 01:47 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
Niestety przerasta mnie to zadanie. Jest ktoś na forum, kto umie rozwiązać to zadanie całościowo?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 gru 2018, o 02:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3698
Lokalizacja: blisko
Upraszczając:

Długość normalnej to:

y \sqrt{1+y'^2}

masz więc równanie:

y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}

lub:

y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}


podstaw:

y'=u

y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}

to podstawienie załatwia sprawę równania...
Góra
Kobieta
PostNapisane: 2 gru 2018, o 12:06 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Kraków
Długość normalnej to: y \sqrt{1+y'^2}

Otrzymujemy równanie : y \sqrt{1+y'^2}= a\frac{(1+y'^2) \sqrt{1+y'^2} }{|y''|}

lub y= a\frac{(1+y'^2) }{|y''|}

podstawiamy :

y'=u

y''= \frac{du}{dx}= \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=u \frac{du}{dy}

y = a   \cdot  \frac{(1 + u^2)}{\left| u \frac{du}{dy}\right|  }

\frac{du}{dy} = -  \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}  \quad \vee  \quad   \frac{du}{dy} = \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}

Dla : \frac{du}{dy} = -  \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}

\frac{du}{dy} = -  \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y}  / : ( \frac{1}{u}+u)

\frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u }  = - \frac{a}{y}

\int_{}^{}  \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy =  \int_{}^{} - \frac{a}{y} dy

\frac{1}{2} log(u^2 + 1 ) = -alog(y) +C1

u = -  \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1  }  \quad \vee \quad u =  \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1  }

Dla : \frac{du}{dy} =  \frac{a( u^2 + 1)}{y \cdot u}

\frac{du}{dy} =  \frac{a( \frac{1}{u} + u )}{y}  / : ( \frac{1}{u}+u)

\frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } =  \frac{a}{y}

\int_{}^{}  \frac{ \frac{du}{dy} }{ \frac{1}{u} + u } dy =  \int_{}^{}  \frac{a}{y} dy

\frac{1}{2} log(u^2 + 1) = alog(y) + C1

u = -  \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1  } \quad  \vee \quad u =   \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1  }



wyniki

u = -  \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1  } \quad  \vee \quad u =   \sqrt{e ^{2C1}y ^{2a} -1  } \quad  \vee \quad u = -  \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1  }  \quad \vee \quad u =  \sqrt{ e^{2C1}y ^{-2a} -1  }
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 gru 2018, o 13:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3698
Lokalizacja: blisko
W sumie fajnie tylko trzeba dokończyć:

u= \frac{dy}{dx}

szczerze to dla.: a \neq 1 ta całka będzie wyglądała nieciekawie prawdziwy Meksyk... , ale pobaw się tym...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl