szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 03:41 
Użytkownik

Posty: 356
Lokalizacja: Polska
Obliczyć granicę \lim_{n \to \infty } \left( \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } \right)
Mógłby mi ktoś pomóc bo nie do końca rozumiem koncepcję twierdzenia o dwóch ciągach ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 03:55 
Moderator

Posty: 2083
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Twierdzenie o dwóch ciągach dotyczy ciągów, które są rozbieżne.
Idea jest taka (skupiając się na +\infty), że jeżeli a_{n}  \rightarrow + \infty dla n  \rightarrow \infty oraz dla każdego n > N (czyli inaczej mówiąc - od pewnego miejsca, od pewnego wyrazu n) zachodzi b_{n}  \ge a_{n} to również b_{n}  \rightarrow \infty
Przykładowo :
Ciąg a_{n} = n + 5 zbiega do nieskończoności. Zauważ, że ciąg b_{n} = 2n spełnia b_{n}  \ge a_{n}, czyli 2n  \ge n + 5 dla każdego n  \ge 5, stąd możemy wziąć wobec powyższej definicji N = 5, tj. dla każdego n > 5 zachodzi b_{n}  \ge a_{n}, ale skoro a_{n} dąży do nieskończoności, to również b_{n}.


Dowód tego faktu powinieneś umieć przeprowadzić.
Otóż z poprzedniego tematu wiesz, że ciąg a_{n} zbiega do nieskończoności, gdy dla każdego M > 0 istnieje takie N, że dla każdego n > N (czyli od pewnego miejsca zachodzi dla każdego n, tak jak w powyższym przykładzie dla każdego n > 5) zachodzi a_{n} > M.
Wiemy też, że istnieje takie K, że dla każdego n > K (tak samo jak wyżej, dla n > 5 zachodzi 2n  \ge n + 5) nierówność b_{n}  \ge a_{n} jest prawdziwa.
Weźmy więc W = \max\left\{ N, K \right\} + 1 (czyli większa z liczb N, K powiększoną o 1). Bierzemy tak dobraną liczbę ponieważ skoro powyższe nierówności są prawdziwe dla każdych liczb n > K i n > M to tak dobrana liczba jest większa od tych liczb, mianowicie W > N i W > K, stąd dla każdego n > W zachodzi a_{n} > M oraz b_{n}  \ge a_{n}, czyli łącząc to otrzymujemy, iż dla każdego n > W zachodzi b_{n}  \ge a_{n} > M  \Rightarrow b_{n} > M dla każdego n > W. Ubierając to w słowa definicji mamy, że :
Dla każdego M > 0 istnieje takie Q (u Nas jest to W), że dla każdego n > Q = W zachodzi b_{n} > M, a to oznacza, że b_{n} również zbiega do nieskończoności z definicji


Ciąg, który Ty masz do rozpatrzenia w takim wypadku zbiega do ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 04:20 
Użytkownik

Posty: 356
Lokalizacja: Polska
Znajdując ciąg \sqrt{n} jego granica wynosi nieskończoność. Więc granica ciągu z zadania będzie taka sama ale mam pytanie do znaku relacji, on działa w obie strony? W sensie w twierdzeniu znajdujemy ciąg a_{n} o granicy w nieskończoności i jeśli zachodzi nierówność a_{n}  \le  b_{n} to \lim_{n \to  \infty  }  b _{n}  =  \infty To jeśli będe szukał a_{n}  \ge   b_{n} to wtedy też zadziała?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 04:26 
Moderator

Posty: 2083
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
1. Tak, a jak znalazłeś ten ciąg ?
2. Nie (rozumiem, że miałeś na myśli b_{n}  \ge a_{n}), pomyśl nad kontrprzykładem. Mianowicie znajdź taki ciąg, który wtedy nie będzie spełniał tego warunku. Na logikę wyglądać powinno to tak : Mam ciąg a_{n}  \rightarrow  \infty oraz który od pewnego miejsca spełnia a_{n}  \ge b_{n}. Nierówność ta wskazuje Nam tylko tyle, że wartości ciągu b_{n} są mniejsze od a_{n} od pewnego miejsca, który dąży do nieskończoności. Skoro a_{n} dąży do nieskończoności, a b_{n} po prostu przyjmuje od niego wartości mniejsze od pewnego miejsca to np. może przyjmować wartości mniejsze od 1, 2, 3... może wynosić 1 etc.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 04:29 
Użytkownik

Posty: 356
Lokalizacja: Polska
Skoro miał być większy to liczba n wszystkich ostatnich elementów. \frac{1}{ \sqrt{n} } n
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 04:34 
Moderator

Posty: 2083
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Gdyby zamiast "ostatnich" było "najmniejszych" to na pewno merytorycznie miałoby to jakieś podstawy. Najmniejsza wartość elementu (elementy definiuje jako składniki sumy) tego ciągu to właśnie \frac{1}{ \sqrt{n}}. Skoro ciąg ma n elementów (sumę n elementów) to ta suma jest większa od wyrażenia ww.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl