szukanie zaawansowane
 [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: Kraków
Witam zadanie brzmi:
Oblicz granicę:
\sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}

Chciałem to zrobić, przez szacowanie z trzech ciągów, bo innego pomysłu nie mam, ale chyba nie wychodzi.

bo szacuje \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}} \le  \sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}}

\sqrt[n]{ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}+ n ^{4}} =  \sqrt[n]{4} \cdot  \sqrt[n]{n ^{4} }

i teraz, \lim_{ x\to\infty} \sqrt[n]{4}  \rightarrow 1 ale \sqrt[n]{n ^{4} } nie wiem ile przez te potęge, do\rightarrow  1 ?

Czyli odpowiedzią jest 1??
Proszę o poprawę jeżeli wystąpił błąd
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 16598
Lokalizacja: Bydgoszcz
Takie szacowanie nie jest niczym uzasadnione. Funkcje wykładnicze rosną szybciej niż potegowe.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1397
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
dla dostatecznie dużych n

4 ^{n} \le 3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4} \le 4 ^{n}+4 ^{n} +4 ^{n} + 4 ^{n}
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: Kraków
skoro wykładnicza szybciej rośnie, to powinienem szacować z od góry przez\sqrt[n]{4 ^{n} +4 ^{n} +4 ^{n}+4 ^{n}}??
wtedy wychodzi \sqrt[n]{4} \cdot  \sqrt[n]{ 4^{n} } granica pierwszego = 1 , a drugiego [ 4??
szacuje, bo chce skorzystać z twierdzenia o 3 ciagach

-- 22 lis 2018, o 21:32 --

czyli granica \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}  \rightarrow  4 tak?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1397
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
problem_matematyczny napisał(a):

czyli granica \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n} +n ^{3} + n ^{4}}  \rightarrow  4 tak?


zaraz cię tęgie umysły tego forum opieprzą za taki zapis :wink: ale ogólnie dobrze kombinujesz
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: Kraków
A mógłbyś jeszcze zerknąć, czy granicą:

a _{n}=  n^{2} \left( \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 }-  \sqrt{n ^{2}-1 }  }{n+1}  \right)

granicą tego po długich przekształceniach jest 1 ?

-- 22 lis 2018, o 21:40 --

zdaje sobie sprawe, że nie jest to idealnie napisane, ale ważniejsza ejst dla mnie informacja, czy dobrze rozumuje :)))
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1397
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
W tym przypadku granica wynosi 1 tak jak sugerujesz.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: Kraków
Super, chyba łapie już granice, a pomożesz mi jeszcze tylko przy jednym : co mam zrobić z takim fantem, jak po przekształceniach mam:

a _{n}=  \left(  \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1} i to po moich przekształceniach wyszło -e ^{0}  =1
???
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 22931
Lokalizacja: piaski
problem_matematyczny napisał(a):
wyszło -e ^{0}  =1
???

Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1397
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
piasek101 napisał(a):
Tak nie wyjdzie - pokaż jak robiłeś.


7 lat mnie nie było na tym forum a piasek nic się nie zmienił :P Istotnie tak nie wyjdzie, wydaje mi się że prawidłowa odpowiedź to e^{-2} ale nie mam siły wypisywać rozwiązania :wink:
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 22931
Lokalizacja: piaski
Ty też się nie zmieniłeś - pomagasz podając (tak tyle wyjdzie).
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 155
Lokalizacja: Kraków
a _{n}= \left( \frac{n ^{2}-1 }{n ^{2} +2n-1 } \right)^{n+1}  =  \left(  \frac{n ^{2}(1- \frac{1}{n ^{2} })  }{n ^{2}(1+ \frac{2}{n}- \frac{1}{n ^{2} }   } \right) ^{n+1}
skracam n ^{2} ze sobą
= \frac{(1+ \frac{-1}{n ^{2}) } ^{n+1}}{(1) ^{n+1} }
W mianowniku już nie przepisywałem + \frac{2}{n} -  \frac{1}{n ^{2} } bo one dążą do zera

Dalej zrobiłem by było czytelniej podziele:
Licznik:[(1+  \frac{-1}{n ^{2} }  )^{n ^{2} } ] ^{ \frac{n+1}{n ^{2} } }
i stąd (1+  \frac{-1}{n ^{2} }  )^{n ^{2}   \rightarrow e ^{-1} no i to jeszcze jest do potęgi \frac{n+1}{n ^{2}} = \frac{n(1+ \frac{1}{n} }{n ^{2} }  } \rightarrow  \frac{1}{n}  \rightarrow  0
czyli granica z licznika to \rightarrow (e ^{-1}) ^{0} = 1
i jeszcze podzielić przez mianownik : (1) ^{n+1}  \rightarrow 1
czyli ostateczna granica to = 1

-- 22 lis 2018, o 22:40 --

a mozecie spojrzeć gdzie jest błąd ?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 16598
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tam gdzie nie przepisywałes. Nie wolno tak robić
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 22931
Lokalizacja: piaski
Niektóre (bo Ci pasowało) ułamki z mianownika dążą do zera, a ten z licznika nie - przecież też dąży do zera.

Mamy \left(1+\frac{-2}{\frac{n^2+2n-1}{n}}\right)^{n+1}
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Oblicz granice
PostNapisane: 22 lis 2018, o 22:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1397
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
problem_matematyczny napisał(a):
W mianowniku już nie przepisywałem + \frac{2}{n} -  \frac{1}{n ^{2} } bo one dążą do zera


I wszystko jasne. Tak nie wolno.

Zrób tak (opowiem ci tylko, bo nie mam po długiej przerwie wprawy w latexowaniu piętrowych ułamków):
w liczniku dodaj i odejmij 2n, rozbij na różnicę "1-ułamek" gdzie ten ułamek ma w liczniku 2n
Zrzuć te 2n do mianownika (zrób piętrowy ułamek) a potem żongluj wykładnikami to widzę z twojego rozwiązania że w miarę potrafisz.

edit:o właśnie tak jak piasek ci rozpisał :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz granice  Aram  7
 Oblicz granicę  Anonymous  3
 Oblicz granice - zadanie 3  wojteka  1
 oblicz granice - zadanie 5  tomekbobek  6
 Oblicz granice - zadanie 6  SoD  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl