szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 20 lis 2018, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Kraków
4\ddot{x}+4\dot{x}+2x=\sin(t)
Znaleźć:
\begin{cases}x(0)\\
\dot{x}(0)\end{cases}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 lis 2018, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 4743
Równanie charakterystyczne

Pierwiastki równania charakterystycznego.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego - na przykład metodą przewidywania.

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.

Znalezienie wartości x(0),  x'(0) - wynikających z warunków początkowych.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 20 lis 2018, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Kraków
To znaczy w którym miejscu należy podstawic 0?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 lis 2018, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 4743
Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

4\lambda^2 +4\lambda +2 = 0

\Delta = 16 - 32 =-16

\lambda_{1}= \frac{-4 - 4i}{8} = \frac{1}{2}(-1 -i),

\lambda_{2} = \frac{1}{2}(-1 +i).

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

x(t) = C_{1}e^{\frac{1}{2}(-1 -i)}t} +C_{2}e^{\frac{1}{2}(-1+i)t} = e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t\right ) + C_{2}\sin \left(\frac{1}{2}t \right)\right]

Wobec twierdzenia o rozwiązaniach równania różniczkowego rzędu II o stałych współczynnikach, musi zachodzić warunek:

e^{it} = 4[Ae^{it}]'' + 4[Ae^it]' + 2\cdot Ae^{it}

e^{it} = [4iAe^{it}]' + 4Ai e^{it} +2Ae^{it}

e^{it} = -4Ae^{it}+4Ai e^{it} + 2Ae^{it} = -2Ae^{it} + 4Aie^{it}

e^{it} = 4A i e^{it}

1 = 4Ai, \ \ A = \frac{1}{4i} = -\frac{1}{4}i

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

x(t) = Im\left[ -\frac{1}{4}i\sin(t)\right] + e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t \right) +C_{2}\sin(\left( \frac{1}{2}t\right) \right] =\frac{1}{4} \sin(t) + e^{-\frac{1}{2}t}\left [C_{1}\cos\left(\frac{1}{2}t \right) +C_{2}\sin\left( \frac{1}{2}t\right) \right] \ \ (1)

Teraz należy podstawić do (1) t= 0.

Obliczyć pochodną I rzędu x'(t).

Podstawić do niej t=0.

Z otrzymanego układu równań wyznaczyć wartości liczbowe C_{1},  C_{2}.

Podstawić te wartości do (1) i do x'(t).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązać zagadnienie początkowe - zadanie 2  Balonik  3
 rozwiązać zagadnienie początkowe - zadanie 5  tlejbik  3
 Rozwiązać zagadnienie początkowe - zadanie 3  Mortimer  3
 Rozwiązać zagadnienie początkowe - zadanie 4  Pawelll91  1
 Rozwiązać zagadnienie początkowe - zadanie 6  matej1410  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl