szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
 Tytuł: Badanie ciągu
PostNapisane: 18 lis 2018, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 142
Wykaż, że ciąg a_{n} jest rosnący i ograniczony, przy założeniu, że:

a_{1}= \frac{1}{2} \\
 a_{2}=1 \\
 a_{n}=\frac{1}{2}a_{n-1}+ \sqrt{  a_{n-2}} \mbox{ dla } n \ge 3.

Jak zabrać się za coś takiego, skoro we wzorze na a_{n} mam dwa inne wyrazy, co trochę mi komplikuje rozumowanie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 01:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnij indukcyjnie, że a_n<4.
Jeśli chodzi o dowód, że ciąg jest rosnący, również wystarczy indukcja matematyczna.
Góra
Kobieta
 Tytuł: Badanie ciągu
PostNapisane: 18 lis 2018, o 02:09 
Użytkownik

Posty: 142
Skąd akurat pomysł na 4? Jak to uzasadnić?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 02:19 
Użytkownik

Posty: 112
Lokalizacja: Warszawa
Podstaw za a_{n} liczbę g i rozwiąż równianie. To jest potencjalny kandydat na granicę tego ciągu jeśli jest on monotoniczny i ograniczony.

-- 18 lis 2018, o 01:21 --

I może jeszcze uwaga, jeśli a_{n} dąży do g to również a_{n-1} i a_{n+1}. Badając granicę od kolejnego/poprzedniego wyrazu, nie zmieniasz jego granicy.

A i w tym wypadku akurat widać, że liczba 4 spełnia to równanie. No i oczywiście wiemy, że ciąg może mieć tylko jedną granicę. Skoro już mamy potencjalnego kandydata na granicę, warto się zastanowić, czy ta granica jest ograniczeniem ciągu z góry/dołu, jak zachowuje się kilka początkowych wyrazów, albo od razu można przepałować indukcją w którąś ze stron i zobaczyć co z tego wyjdzie. Ciągi rekurencyjne to takie typy że nie masz jednego poprawnego schematu - są różne metody, i zadania potrafią być naprawdę truuudne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie ciągu  Petermus  1
 badanie ciągu - zadanie 2  mlody_080  0
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie zbieżności funkcji. Czy \sqrt[n]{n!} zbiega do 1?  kej.ef  12
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl