szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: Krakow
Jak w tym przykładzie sprawdzić, czy ciąg jest ograniczony z góry (bez liczenia granicy przy n \rightarrow  \infty) ?

\left( 1 +  \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 +  \frac{1}{2 ^{n} } \right)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 16596
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomnoż przez 1-\frac12
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: Krakow
a4karo, przepraszam. Nie rozumiem o co chodzi z tym mnożeniem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 23:21 
Administrator

Posty: 24717
Lokalizacja: Wrocław
A pomnożyłeś?

\left( 1-\frac12\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=\left( 1-\frac{1}{2^2}\right) \cdot\left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=...

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: Krakow
Jan Kraszewski, ok, nie zauważyłem tego wcześniej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 10:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8339
Lokalizacja: Wrocław
Ok, ale

\left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right)

i co z tym?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 11:21 
Użytkownik

Posty: 16596
Lokalizacja: Bydgoszcz
No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 11:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le \left( \frac{\left( 1+\frac 1 2\right)+\ldots+\left( 1+\frac{1}{2^n}\right)  }{n}  \right)^n <\left( \frac{n+1}{n}\right)^n
a znany jest fakt, że to ostatnie zbiega do e (jak nie chcesz korzystać z tej ostatniej granicy, to ogranicz \left( \frac{n+1}{n}\right)^n z góry przez 3).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 13:16 
Administrator

Posty: 24717
Lokalizacja: Wrocław
a4karo napisał(a):
No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...

A ja nie zauważyłem, że a4karo nie zauważył. Sorry... Na szczęście Dasio11 zawsze czuwa.

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 21:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Ponieważ nie każdy zna nierówności między średnimi (acz polecam je poznać!), to pozwolę sobie dodać jeszcze jedno rozwiązanie:
skorzystamy ze znanej nierówności 1+x\le e^x (tutaj zawsze będzie x>0, więc nierówność będzie nawet ostra, ale to szczegół):
ustalmy dowolne n\in \NN^+, n>1. Wtedy na mocy wspomnianej nierówności:
1+\frac 1 2\le e^{\frac 1 2}\\1+\frac 1 4\le e^{\frac 1 4}\\\ldots \\ \ldotds 1+\frac{1}{2^n}\le e^{\frac{1}{2^n}}
Mnożymy tych n nierówności stronami (możemy tak zrobić, gdyż w każdej nierówności obie strony są dodatnie) i mamy
\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le e^{\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{2^n}}<e
Ostatnia nierówność wynika z tego, że e^x jest funkcją rosnącą i że \frac 1 2+ \ldots+\frac{1}{2 ^{n}}<1 dla dowolnego n\in \NN^+.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy szereg jest zbieżny ? - zadanie 2  Anonymous  3
 Kiedy szereg jest zbieżny ?  Margaretta  2
 Udowodnij, że ciąg jest nieograniczony z dołu  deny  1
 Co to jest podzielność ciągu ?  Anonymous  2
 Kłopotliwy ciąg  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl