szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 62
W jaki sposób dojść do prawidłowej odpowiedzi \frac{9}{4} ?
\lim_{ n\to  \infty }  \frac{ \sqrt{ n^{2}  +9} - n }{  \sqrt{n^{2}+4} -n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:27 
Administrator

Posty: 24744
Lokalizacja: Wrocław
Sprząc licznik i mianownik (czyli skorzystać ze wzoru a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}).

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 62
Owszem, i wychodzi mi:
\frac{ (\sqrt{ n^{2}+9 }-n )( \sqrt{ n^{2}+4 }+n) }{ n^{2} +4 -  n^{2} }.

Mianownik daje 4, a licznik wydaje się dążyć do \infty. Po wymnożeniu nawiasów można wyciągnąć stamtąd n^{2}, które nie skróci się z 4 z mianownika.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 445
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Rozszerz jeszcze przez sprzężenie do licznika, a nie tylko mianownika.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 62
Rzeczywiście, działa. Dzięki!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zawsze zastanawiałem się dlaczego preferuje się bardziej lub mniej skomplikowane wzory skróconego mnożenia zamiast twierdzenia Lagrange'a

W tym przypadku
\sqrt{n^2+9}-n=\sqrt{n^2+9}-\sqrt{n^2}=9\frac{1}{2\sqrt{a}}, gdzie n^2<a<n^2+9
\sqrt{n^2+4}-n=\sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2}=4\frac{1}{2\sqrt{b}}, gdzie n^2<b<n^2+4

więc

\frac{\sqrt{n^2+9}-n}{\sqrt{n^2+4}-n}=\frac{9}{4}\sqrt{\frac{b}{a}}

Ale

\frac{n^2}{n^2+9}<\frac{b}{a}<\frac{n^2+4}{n^2} więc dąży do jedynki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl