szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 20:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 420
Cytuj:
niech p \in \NN_0. Pokaż, że
\frac{ \sum_{k=1}^{n}k^p }{n^{p+1}}  \rightarrow  \frac{1}{p+1}

Witam, zastanawiam się jak ugryźć te zadanie :?
Korzystam z tw. Stolza-Cesàro i dochodzę do takiej postaci:
\lim \frac{k^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}} = \lim  \frac{k^p}{ \sum_{i=0}^{p}(n+1)^{p-i}\cdot n^i }
jednak zastanawiam się jak z tego wytrącić ten wykładnik do ułamka...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 20:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13885
Lokalizacja: Wrocław
Cóż to za k w liczniku? Błędnie zastosowałeś tw. Stolza-Cesàro. Jak to poprawisz, to zauważ, że w tej sumie w mianowniku jest p+1 składników, każdy nie większy niż (n+1)^p i nie mniejszy niż n^p.

-- 16 lis 2018, o 19:40 --

W ogóle to zadanie ma też prostsze rozwiązanie: pokazujemy (ja to od razu dostałem z tw. Lagrange'a o wartości średniej, można też dość łatwo elementarnie to uzasadnić), że dla p\ge 0, k\ge 0 jest
(p+1)k^p \le (k+1)^{p+1}-k^{p+1} \le (p+1)(k+1)^p, więc
(p+1) \sum_{k=0}^{n} k^p\le  \sum_{k=0}^{n} \left(  (k+1)^{p+1}-k^{p+1}\right)
oraz
(p+1) \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^p\ge   \sum_{k=0}^{n-1} \left(  (k+1)^{p+1}-k^{p+1}\right),
w tych sumach się prawie wszystko skraca i teza łatwo wynika z twierdzenia o trzech ciągach.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 lis 2018, o 11:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 420
Dziękuję bardzo! Faktycznie popełniłem błąd, po odjęciu tych sum powinno być n^p i wtedy bardzo ładnie to się szacuje.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica z potęgami - zadanie 2  mat9876  3
 Granica z potęgami - zadanie 6  ramefn  1
 Granica z potęgami  CebuLaa  7
 granica z potęgami - zadanie 3  Vossler  4
 Granica z potęgami - zadanie 4  ksyssiu  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl