szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 02:42 
Użytkownik

Posty: 112
Lokalizacja: Warszawa
Mamy ciąg a_{n} > 0 dla każdego n.
Zachodzą warunki :
a_{n+1}-a_{n}  \rightarrow 0 i
a_{n}a_{n+1}  \rightarrow g.
Wykaż że ciąg a_{n} jest zbieżny.

Pomysłów póki co mi brak, ale własnie staram się to rozpisywac na kartce co jeszcze nie wychodzi dlatego się tym dziele.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 03:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
a_{n+1}^2+a_{n}^2=(a_{n+1}-a_n)^2+2a_n a_{n+1}
i teraz trochę arytmetyki granic:
skoro a_{n+1}-a_{n} \rightarrow 0, to także (a_{n+1}-a_{n})^2 \rightarrow 0, ponadto skoro a_{n}a_{n+1} \rightarrow g, to
2a_{n}a_{n+1} \rightarrow 2g, czyli
a_{n+1}^2+a_{n}^2 \rightarrow 2g.
I teraz pomogą takie szacowania:
2(a_{n+1}^2+a_n^2)\ge \left( a_{n+1}+a_n\right)^2\ge 4a_n a_{n+1}
Granicą skrajnych ciągów jest 4g, zatem
\lim_{n \to \infty}(a_{n+1}+a_n)^2=4g
z twierdzenia o trzech ciągach.
Następnie wykorzystując to, że (a_n) ma wyłącznie dodatnie wyrazy, możemy napisać, że
\lim_{n \to \infty}(a_{n+1}+a_n)=2\sqrt{g}
(oczywiście g\ge 0). Można to też trochę sformalizować.
Wreszcie zapiszmy
a_n=\frac 1 2\left( \left( a_{n+1}+a_n\right) -\left( a_{n+1}-a_n\right) \right)
i praktycznie po zadaniu…
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż zbieżność ciągu  s-e-b  5
 Wykaż zbieżność ciągu - zadanie 2  znajomyPI  3
 Wykaż zbieżność ciągu - zadanie 4  Klawy123  7
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl