szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lis 2018, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Polska
Jak to się liczy?
\lim_{ n\to \infty  } \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 }  \right) ^{4n}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lis 2018, o 00:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14103
Lokalizacja: Wrocław
Z twierdzenia o trzech ciągach chociażby.
Z jednej strony oczywiście
\left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1 dla każdego n\in \NN^+, z drugiej strony na mocy nierówności Bernoulliego mamy
\frac{1}{ \left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}} = \left(\frac{ n^{2}+1 }{ n^{2}+6 } \right) ^{4n}=\left( 1-\frac{5}{n^2+6}\right)^{4n}\ge 1- \frac{20n}{n^2+6}
i to ostatnie wyrażenie jest dodatnie dla n>20, więc podsumowując
dla n>20 mamy
\frac{1}{1-\frac{20n}{n^2+6}} >\left(\frac{ n^{2}+6 }{ n^{2}+1 } \right) ^{4n}>1
i z tw. o trzech ciągach wynika, że „nasz" ciąg ma granicę 1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 Oblicz granicę ciągu  Anonymous  1
 Oblicz granicę ciągu - zadanie 2  Anonymous  1
 Granice ciągów  Anonymous  3
 Granice ciągów - zadanie 2  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl