szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Poniższe równanie jest zupełne lub sprowadzalne do zupełnych za pomocą czynnika całkującego. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy.

\left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x  + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y  = 0

Niestety nigdy nie liczyłem taka metoda wiec nie bardzo wiem jak zrobić to zdanie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lis 2018, o 18:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12762
Lokalizacja: Kraków
Polecam temat 362662.htm jako wstęp do metody.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lis 2018, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
\left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x  + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y  = 0


\pfrac{P}{y} = \frac{2x^{2} - y}{ \partial y } = -1

\pfrac{Q}{x} = \frac{x^{2}y + x}{ \partial x} = 1

czyli zachodzi:

\pfrac{P}{y}\neq \pfrac{Q}{x}

czyli liczymy
\frac{1}{P-Q}\left(\pfrac{Q}{y}-\pfrac{P}{x}\right)

czyli

\mu(S) = \frac{1}{2x^{2} -y - x^{2}y - x } \left(   x^{2} - 4x \right) = \frac{x^{2} - 4x}{x ^{2}\left( 2 - y \right) -y - x   }

i dalej mnie blokuje. Czy coś pomyliłem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 lis 2018, o 22:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Nie tego czynnika całkującego szukasz

\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left(  \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y}  \right)  \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left(  \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}  \right)  \mbox{d}x \\

Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej

\left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x  + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y  = 0


P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
 \frac{  \partial P}{ \partial y}=-1\\
 \frac{  \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
 \frac{1}{Q}\left(  \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}  \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right)  \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lis 2018, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
mariuszm napisał(a):
Nie tego czynnika całkującego szukasz

\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{P}\left(  \frac{ \partial Q}{ \partial x}- \frac{ \partial P}{ \partial y}  \right)  \mbox{d}y\\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}= \frac{1}{Q}\left(  \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}  \right)  \mbox{d}x \\

Próbuj najpierw czynników zależnych od jednej zmiennej

\left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x  + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y  = 0


P=2x^{2} - y \\
Q=x^{2}y + x\\
 \frac{  \partial P}{ \partial y}=-1\\
 \frac{  \partial Q}{ \partial x}=2xy+1\\
 \frac{1}{Q}\left(  \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}  \right)\\
\frac{1}{x^{2}y + x}\left( \left( -1\right)-\left( 2xy+1\right)  \right) =\\
\frac{1}{x\left( xy+1\right) } \cdot \left( -2xy-2\right) \\
\frac{ \mbox{d}\mu}{\mu}=-\frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| \mu\right| }=-2\ln{\left| x\right| }\\
\mu\left( x\right)=\frac{1}{x^2}


I teraz nie wiem co dalej. Przemnożyć równanie podstawowe i?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 lis 2018, o 03:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Tak mnożysz równanie przez znaleziony czynnik a następnie

Rozwiązujesz układ równań

\begin{cases}  \frac{ \partial F}{ \partial x} = P  \\  \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q  \end{cases}


wtedy F\left( x,y\right)=C

będzie rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lis 2018, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
\frac{ \partial F}{ \partial y} =  -\frac{1}{x^2} \end


1. \frac{ \partial U} { \partial x} = -2 + \frac{y}{x^2}

2. \frac{ \partial U}{ \partial x} = y + \frac{1}{x}

Liczę całkę ze względu na y z równania 2.

U(x,y) =  \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2} + C(x)

i teraz liczę pochodna czastkowa i co robię dalej?

\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} = ?

-- 30 lis 2018, o 22:52 --

U(x,y) = \int y+\frac{1}{x} \mbox{d}y = \frac{y^{2}}{2} + \frac{y}{2x} + C(x)

\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x} =  \frac{-1}{2} \cdot  x^{-2}  \cdot  y + C'(x)

i teraz powinienem porównać z :
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 gru 2018, o 08:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Porównujesz to co dostałeś z różniczkowania z twoją funkcją P\left( x,y\right)

\left( 2x^{2} - y \right) \mbox{d}x  + \left( x^{2}y + x\right) \mbox{d}y  = 0

Nie pomnożyłeś poprawnie równania przez czynnik całkujący

Równanie po przemnożeniu przez czynnik całkujący wygląda tak

\left( 2 - \frac{y}{x^{2}} \right) \mbox{d}x  + \left( y + \frac{1}{x}\right) \mbox{d}y  = 0


\begin{cases}  \frac{ \partial U}{ \partial x} = P  \\  \frac{ \partial U}{ \partial y} = Q  \end{cases}


\int{\left( y+\frac{1}{x}\right) \mbox{d}y } = \frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+C\left( x\right)

-\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=P\\
-\frac{y}{x^{2}}+C'\left( x\right)=2-\frac{y}{x^{2}}\\
C'\left( x\right)=2\\
C\left( x\right)=2x\\
U\left( x,y\right)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{y}{x}+2x\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czynnik całkujący - zadanie 4  kkk  0
 Czynnik całkujący - zadanie 9  donquixote  4
 Czynnik całkujący - zadanie 10  chcezrozumiec2  2
 Czynnik całkujący - zadanie 8  Benny01  2
 Czynnik całkujący - zadanie 2  inesitka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl