szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 18:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
Niech f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{xy-1}. Wykaż, że \forall_{ m,n\in \ZZ}\ \left( f(m,n)\in \ZZ_+\implies f(m,n)=5\right). Ponadto udowodnij istnienie nieskończenie wielu rozwiązań (x,y)\in \ZZ^2 równania f(x,y)=5.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
WolfusA napisał(a):
\exists_{ m,n\in Z}\ f(m,n)\in Z_+\implies f(m,n)=5
o prawdziwości powyższego zdania świadczy na przykład para (m,n)=(3,3); istotnie, dla m=n=3 implikacja f(m,n)\in Z_+\implies f(m,n)=5 jest prawdziwa, gdyż zarówno poprzednik jak i następnik implikacji są fałszywe
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 20:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
A co przy prawdziwym poprzedniku?

-- 13 lis 2018, o 20:59 --

OK, po wstawieniu nawiasu nie ma problemu. Teraz wiem o co chodziło.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 21:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1493
Lokalizacja: Katowice
po wstawieniu nawiasu wciąż jest problem, gdyż w formule \left(\exists_{ m,n\in \ZZ}\ f(m,n)\in \ZZ_+\right)\implies f(\color{red}m\color{black},\color{red}n\color{black})=5 pojawiają się zmienne wolne (zakolorowałem je na czerwono)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 22:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: Warszawa
Co do drugiej części zadania. Wydaje mi się, że wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe (przyjmując xy \neq 1):
\frac{ x^{2} +  y^{2}  }{xy - 1} = 5 \Leftrightarrow  x^{2} +  y^{2} = 5xy - 5 \Leftrightarrow  y^{2} - 5xy +  x^{2} + 5 = 0. Mamy \Delta = 25x^{2} - 4( x^{2} + 5) = 21x^{2} - 20 \Rightarrow y =  \frac{1}{2} (5x \pm  \sqrt{ 21x^{2} - 20 }). Teraz wystaczy, żeby \Delta =  k^{2}, bo wtedy zarówno dla x parzystego jak i nieparzystego mamy \sqrt{\Delta} \equiv_{2} 5x. Czyli mamy równanie 21x^{2} - 20 =  l^{2} \Leftrightarrow  21x^{2} -  l^{2} = 20, które ma nieskończenie wiele rozwiązań dla liczb x, l \in \mathbb{Z}, ponieważ jest równaniem Pella (zmodyfikowanym). Ale nie jestem pewien, czy równania Pella mają też nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych, gdy po prawej stronie jest 20 zamiast 1...

BTW czy w treści zadania nie powinno być \forall m,n \in \mathbb{Z} \quad f(m,n) \in \mathbb{Z_{+} } \Rightarrow f(m,n) = 5 albo coś takiego?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 22:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
Z pomocą ogarnąłem wreszcie kwantyfikator.
Widocznie mają nieskończenie wiele rozwiązań, ale trzeba to tu wykazać. Nie jest to w żaden sposób oczywiste.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 22:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: Warszawa
Jest twierdzenie mówiące, że równanie Pella x^{2} - Dy^{2} = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy D nie jest kwadratem liczby całkowitej. Dowodu nie znam, ale na pewno łatwo go znaleźć. Dodatkowo, istnieje algorytm, który wyznacza nieskończenie wiele rozwiązań tego równania. Wydaje mi się, że równanie 21x^{2} - l^{2} = 20 również ma nieskończenie wiele rozwiązań, a przynajmniej tak podpowiada wolfram, co zawsze podnosi na duchu:)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Można tak:

zmodyfikujmy to:

\frac{ \left( x+y \right) ^2-2xy}{xy-1}=5

podstawmy:

(*) x+y=a, xy=b

otrzymamy:

\frac{a^2-2b}{b-1}=5

lub:

a^2=7b-5

łatwo zauważyć, że dla:

b=7n^2+6n+2

a=7n+3

mamy takie nieskończone przykładowe rozwiązania, ale wracając do (*) otrzymamy:

x+y=7n+3,xy=7n^2+6n+2

po próbie rozwiązania tego układu mamy:

x^2- \left( 7n+3 \right) x+7n^2+6n+2=0

wyliczmy deltę:

\Delta=21n^2+18n+1

oczywiście musi być spełnione:

21n^2+18n+1=t^2

zapiszmy to tak:

21\left( \frac{7n+3}{7} \right)^2 - \frac{20}{7}=t^2

lub:

21 \left( 7n+3 \right) ^2-140=49t^2

na koniec:

3 \left( 7n+3 \right) ^2-20=7t^2

niech:

7n+3=k

mamy:

3k^2-7t^2=20

lub inaczej:

\left( 84k \right) ^2-84 \left( 14t \right) ^2=28 \cdot 1680

lub:

A^2-84B^2=47040

jest to jakaś modyfikacja równania Pellego

ma nieskończenie wiele rozwiązań...

np:

A= 28 \left( -6 \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) ^n + \sqrt{21} \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) ^n - 6 \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) ^n - \sqrt{21} \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) ^n \right)

B= 2 \left( -7 \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) ^n + 2 \sqrt{21} \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) ^n - 7 \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) ^n - 2 \sqrt{21} \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) ^n \right)

...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Silnia sześcianem i kombi (znajomości)  pawelsuz  4
 [Teoria liczb] Część całkowita liczby rzeczywistej  Myrthan  7
 [Teoria liczb] Podzielność w naturalnych  inny  11
 [Teoria liczb] Liczby pierwsze i kwadrat - zadanie 5  lukasius  5
 [Planimetria][Teoria liczb] Podzielność - zadanie 5  czekoladowy  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl