szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne poniższych równań Bernulliego lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy. Jeżeli jest to możliwe podać rozwiązanie
w postaci jawnej

y' = y^{2}e^{x} - y
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lis 2018, o 16:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Podzielmy równanie stronami przez y^2, a otrzymamy
\frac{y'}{y^2}=e^x-\frac 1 y
Podstawmy teraz z(x)=-\frac 1 y i mamy równanie
z'-z=e^x, które możemy rozwiązać tak:
równanie jednorodne z'-z=0 ma rozwiązanie postaci z_j(x)=C\cdot e^x
Teraz używamy metody wariacji parametru, tj. niech C:=C(x) i wstawiamy to do równania niejednorodnego
z'-z=e^x.
Otrzymujemy
C'(x)e^x=e^x\\ C'(x)=1\\ C(x)=x+A.
Otrzymaliśmy zatem dla dowolnej stałej A rozwiązanie równania niejednorodnego
z'-z=e^x
postaci
z(x)=(x+A)e^x
czyli
y=-\frac{1}{z}=-\frac{e^{-x}}{x+A}
gdzie A to dowolna stała.
Jest jeszcze taka pułapka, że funkcja stale równa zero też spełnia to równanie, a dla niej nie możemy sobie tak podzielić itd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl