szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 lis 2018, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 125
Lokalizacja: Poznań
Mógłby mi ktoś rozwiązać to zadanie?

y' = y'' \ln(y')

y_{(0)} = 0
y'_{(0)} = 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 lis 2018, o 17:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Podstawmy u=y'.
Mamy po prostych przekształceniach
1=u'\cdot \frac{\ln u}{u}
i naturalnie to całkujemy stronami
Policzymy teraz całkę:
I= \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t
Całkując przez części, mamy z dokładnością do stałej
I= \int_{}^{} (\ln t)'\ln t\,\dd t=\ln^2 t- \int_{}^{} \frac{\ln t}{t}\,\dd t=\\=\ln^2 t-I
czyli
I=\frac 1 2\ln^2 t+C
Po scałkowaniu tamtego równania stronami dostajemy więc:
x+C=\frac{1}{2}\ln^2(u)\\ 2(x+C)=\ln^2(u)\\\ln u=\pm\sqrt{2(x+C)}\\ u=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)\\ y'(x)=\exp\left( \pm\sqrt{2(x+C)}\right)
Podstawiając teraz x=0 i korzystając z warunku y'(0)=1, mamy
C=0, tj.
y'(x)=\exp\left( \sqrt{2x}\right) \vee y'(x)=\exp\left( -\sqrt{2x}\right)
Teraz mamy do obliczenia takie dwie podobne całki:
\int_{}^{} e^{\sqrt{2x}}\,\dd x=\left|\begin{array}{cc} 2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} t e^t\,\dd t=te^t-e^t+C=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C
oraz
\int_{}^{} e^{-\sqrt{2x}}\,\dd x\left|\begin{array}{cc}2x=t^2\\ \,\dd x=t\,\dd t \end{array}\right|=\\= \int_{}^{} te^{-t}\,\dd t=-te^{-t}-e^{-t}+C=\\=-\sqrt{2x}e^{-\sqrt{2x}}-e^{-\sqrt{2x}}+C
Czyli
y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+C
Po skorzystaniu z warunku
y(0)=0 otrzymujemy
y(x)=\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1 \vee y(x)=-\sqrt{2x}e^{\sqrt{2x}}-e^{\sqrt{2x}}+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązanie całki ogólnej - zadanie 2  qcu89  2
 Podać rozwiązanie ogólne różniczki  caca  1
 Znaleźć rozwiązanie ogólne i szczegółowe  Figlarz  2
 rozwiazanie szczególowe równania różniczkowego  ksia19  3
 wyznaczyc obszar w którym równanie bedzie miało dokładnie  michaljst  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl