szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 lis 2018, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Tarnów
Witam, mam do rozwiązania następujące przykłady i nie mogę się do nich dobrać. Muszę obliczyć granicę ciągów:
1. a _{n} =  \left(  \frac{n-1}{4+n} \right) ^n
2. a _{n} = \left(  \frac{n^2+2}{n^2-2} \right) ^ \left(  \frac{n}{2} \right)
3. a _{n} = \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{\sin { \left( 2n \right) }}{n}
4. a _{n} = \frac{n^2 \cdot \cos  \left( n! \right) }{n^3+2n+1} + \frac{3^n}{4^n}  \cdot \sin{n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 lis 2018, o 07:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
1.
\lim_{n \to  \infty }  \left(  \frac{n-1}{4+n} \right) ^n=\left[ 1 ^{ \infty } \right] = \lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{-5}{4+n} \right) ^{n \cdot  \frac{ \frac{4+n}{-5}}{  \frac{4+n}{-5}} }=\\=\lim_{n \to  \infty } \left[  \left( 1+ \frac{-5}{4+n} \right) ^{  \frac{4+n}{-5}}\right] ^{ \frac{n}{ \frac{4+n}{-5}} }=e ^{-5}

2.
jw.

3.
\lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{-1}{n} \le \lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{\sin { \left( 2n \right) }}{n} \le \lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{1}{n}\\
e \cdot  \frac{-1}{ \infty } \le \lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{\sin { \left( 2n \right) }}{n} \le  e \cdot  \frac{1}{ \infty }\\
0  \le \lim_{n \to  \infty }   \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{\sin { \left( 2n \right) }}{n} \le  0\\
 \lim_{n \to  \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^n  \cdot  \frac{\sin { \left( 2n \right) }}{n} =  0

4.
jw.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 lis 2018, o 10:35 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Tarnów
W 1
\left[ 1 ^{ \infty } \right] = \lim_{n \to  \infty }  \left( 1+ \frac{-5}{4+n} \right) ^{n \cdot  \frac{ \frac{4+n}{-5}}{  \frac{4+n}{-5}} }
Zastosowany jest jakiś wzór, zależność?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 11:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
Wiesz że
\lim_{ f(x)\to  \infty  }\left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right) ^{f(x)}=e
stąd:
\lim_{ f(x)\to  \infty  }\left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right) ^{g(x)}=\lim_{ f(x)\to  \infty  }\left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right) ^{g(x) \cdot  \frac{f(x)}{f(x)} } =\lim_{ f(x)\to  \infty  }\left[ \left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right) ^{f(x)} \right] ^{ \frac{g(x)}{f(x)} }=\\=\lim_{ f(x)\to  \infty  }e^{ \frac{g(x)}{f(x)} }
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 lis 2018, o 10:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
kerajs napisał(a):
Wiesz że
\lim_{ f(x)\to  \infty  }\left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right) ^{f(x)}=e
Co rozumiesz przez ten zapis?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lis 2018, o 14:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7057
Rozumiem tak:
Gdy funkcja/wyrażenie f(x) dla pewnych argumentów dąży do nieskończoności to granice z powyśzego wyrażenia dla tych samych argumentów wynosi e.

PS.
Sorry. zapomniałem wtedy odpisać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lis 2018, o 21:41 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
A mógłbyś to uściślić? Wygląda podejrzanie. Co to znaczy "dla pewnych argumentów"?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 20:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Ojej no, ten zapis jest rzeczywiście nieścisły i formalnie niepoprawny, ale nie trzeba być Zweisteinem ani Dreisteinem, żeby nadać mu ścisły sens. Niech
x_0\in \RR, \ \lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty. Wówczas
\lim_{x \to x_0} \left( 1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e.
x_0\in \RR można też zastąpić przez \pm \infty, zaś dowód tego faktu można przeprowadzić, korzystając z definicji granicy w sensie Heinego i ze znanej granicy
\lim_{x \to 0}\left( 1+x\right)^{\frac 1 x}=e.

-- 16 lis 2018, o 19:07 --

Kurczę, zapomniałem się wylogować i zalogować na konto kerajs. :c
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 20:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
Przy takim uściśleniu mamy

\lim_{f(x) \to \infty} \left( 1+\frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = g \iff \lim_{y \to \infty} \left( 1+\frac{1}{y} \right)^y = g.

Jeśli więc chodzi o nadanie już istniejącemu pojęciu nowego, dziwacznego oznaczenia, to faktycznie taka koncepcja bardziej pasowałaby do Halbsteina. :]
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 21:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Niewątpliwie. Jednak pytanie o uściślenie zazwyczaj pojawia się wtedy, gdy jest ono nietrywialne lub myśl jest zbyt niejasna, by stwierdzić, o co chodzi (ewentualnie jeśli ktoś własnie zdaje egzamin i sprawdza się jego umiejętności w tym zakresie albo uczymy się aksjomatycznej teorii mnogości i tam wszystko musi być maksymalnie poprawne formalnie), jak coś wydaje się nieelegancko sformułowane, to można to przecież od razu samodzielnie naprawić, tak będzie szybciej. kerajs chyba się teraz nie uczy (no, chyba że na takiej zasadzie, iż człowiek uczy się całe życie).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 22:51 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
A skąd mam wiedzieć, czy rozwiązanie jest nieelegancko sformułowane, dopóki się nie dowiem, jakie jest znaczenie użytych w nim niestandardowych oznaczeń?

Odnośnie tego, że mogę się tego domyślić: mogę tak zrobić tylko wtedy, kiedy któraś z nasuwających się możliwości wydaje się sensownie prawdopodobna. Twoja propozycja mi się taka nie wydaje (co nie wyklucza, że to o nią chodziło), bo po co ktoś miałby używać niestandardowych oznaczeń do pojęcia, które ma dobrze znane standardowe oznaczenie? Mnie natomiast skojarzyło się inne możliwe znaczenie rzeczonego wyrażenia, które wydaje mi się lepiej usprawiedliwiać dobór oznaczenia, za to gorzej pasuje do kontekstu, w którym było użyte.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 lis 2018, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
O, a to akurat jedyna ciekawa rzecz w tym wszystkim. Przybliżysz tę inną możliwość?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 00:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
W definicji całki Riemanna czasem stosuje się zapis

\int \limits_a^b f(x) \, \dd x = \lim_{\delta(P) \to 0} R(f, P, c)

gdzie

\bullet \, P = \{ x_0, \ldots, x_n \} jest podziałem [a, b],

\bullet \, \delta(P) oznacza średnicę tego podziału (czyli maksimum długości przedziałów [x_{i-1}, x_i],

\bullet \, c oznacza funkcję wyboru punktów pośrednich, czyli ciąg c_1, \ldots, c_n taki, że c_i \in [x_{i-1}, x_i],

\bullet \, R(f, P, c) oznacza sumę całkową, R(f, P, c) = \sum_{i=1}^n f(c_i) \cdot (x_i - x_{i-1}).

Zazwyczaj za taką równością stoi definicja: jeśli istnieje taka liczba I \in \RR, że dla każdego \varepsilon > 0 istnieje \delta > 0, taka że dla każdego podziału P i dla każdej funkcji wyboru c zachodzi

\delta(P) \le \delta \Rightarrow \left| R(f, P, c) - I \right| \le \varepsilon,

to taka liczba I jest jedyna i określamy całkę jako \int \limits_a^b f(x) \, \dd x = I.

W myśl takiego podejścia można by dla dowolnych funkcji f, g : X \to \RR zdefiniować

\lim_{f(x) \to \infty} g(x) = \ell jeśli dla każdego \varepsilon > 0 istnieje takie Y \in \RR, że dla każdego x \in X zachodzi

f(x) \ge Y \Rightarrow |g(x) - \ell| \le \varepsilon.

Z taką definicją wiąże się pewien problem, bo jeśli f jest ograniczona z góry, to każda liczba \ell \in \RR spełnia powyższy warunek, czyli granica nie jest jednoznaczna (podobnie jak granica przy x \to x_0 gdy x_0 jest punktem izolowanym w przestrzeni topologicznej).


Można podejść jeszcze inaczej. Zbiorem skierowanym nazywamy niepusty zbiór A z relacją \preccurlyeq, która jest zwrotna, przechodnia i taka, że każdy dwuelementowy (równoważnie: skończony) podzbiór A ma ograniczenie górne. Funkcję f : A \to \RR nazywamy ciągiem uogólnionym i piszemy

\lim_{\alpha \in A} f(\alpha) = \ell

jeśli dla każdego \varepsilon > 0 istnieje takie \alpha \in A, że dla każdego \beta \succcurlyeq \alpha mamy |f(\beta) - \ell| \le \varepsilon.

Taka zbieżność stanowi dalekie uogólnienie pojęcia zbieżności ciągu/funkcji i z tego względu ciągi uogólnione dobrze się nadają do pracy z dowolnymi przestrzeniami topologicznymi, podczas gdy zwykłe ciągi działają tylko w przestrzeniach metrycznych - na przykład podzbiór przestrzeni topologicznej jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty na granice ciągów uogólnionych. Również definicję całki Riemanna można wyrazić przy ich pomocy: na zbiorze \mathcal{P} par (P, c) (gdzie P i c są jak wcześniej) zadajemy relację

(P, c) \preccurlyeq (Q, d) \iff |\delta(P)| \ge |\delta(Q)|,

która sprawia, że im większy indeks (P, c), tym bliższa do zera jest średnica P. Wtedy granicę \lim_{\delta(P) \to 0} R(f, P, c) można zdefiniować jako \lim_{(P, c) \in \mathcal{P}} R(f, P, c) i będzie ona równoważna tej wcześniejszej.

Podobnie dla niepustego zbioru X i funkcji f, g : X \to \RR można na X zdefiniować relację

x \preccurlyeq y \iff f(x) \le f(y)

i zdefiniować

\lim_{f(x) \to \infty} g(x) = \lim_{x \in X} g(x).

Jeśli powyższa granica istnieje, to jest jedyna (bo tak jest dla każdego ciągu uogólnionego). Dla ograniczonej funkcji f taka definicja intuicyjnie nie prowadzi do granicy przy f(x) \to \infty, tylko przy f(x) dążącym do supremum swoich wartości. W szczególności, jeśli f osiąga maksimum a granica istnieje, to jest ona wspólną wartością g(x) dla wszystkich x \in X, w których f osiąga maksymalną wartość.


I choć te dwie definicje bardziej moim zdaniem pasują do oznaczenia \lim_{f(x) \to \infty}, to są one na tyle niepowszechne, że przypuszczalnie nie o nie chodzi, tym bardziej że jak na ten wątek byłby to mocny overkill.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 lis 2018, o 03:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki za nader ciekawy post i poświęcony czas, dobrze wiedzieć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice ciągów  Anonymous  3
 Granice ciągów - zadanie 2  Anonymous  1
 Granice ciągów - zadanie 3  Anonymous  3
 Granice ciagów  moczul  1
 granice ciągów - zadanie 4  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl