szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lis 2018, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: Polska
Witam.
Mam do policzenia całkę skierowaną
\iint_{S}x  \mbox{d}y  \mbox{d}z +xy  \mbox{d}x  \mbox{d}z + xyz  \mbox{d}x  \mbox{d}y
gdzie S to górna strona powierzchni
z=4,  x^{2}+ y^{2}=1
Do obliczania tego typu całek używałem do tej pory wzoru
\iint_{S} P  \mbox{d}y \mbox{d}z + Q \mbox{d}x \mbox{d}z+Q \mbox{d}x \mbox{d}y= 
\iint_{D} [ -P\left(x,y, h\left( x,y\right)  \right) h' _{x}\left( x,y\right) -Q \left(x,y, h\left( x,y\right)  \right) h' _{y}\left( x,y\right) +R \left(x,y, h\left( x,y\right)  \right) ] \mbox{d}x  \mbox{d}y
Jak zabrać się do tego w takim przypadku ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 lis 2018, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 4721
Innymi słowy mamy obliczyć wartość strumienia wektora pola:

\vec{F} = x\vec{e}_{x} + xy \vec{e}_{y} + xyz \vec{e}_{z},

przez górną stronę powierzchni S ograniczonej kołem jednostkowym x^2+y^2 \leq 1 i płaszczyzną z = 4.

Do obliczenia tej całki (wartości strumienia) proponuję skorzystać ze wzoru:

\iint_{(S)}\vec{F}d\vec{S}= \iint_{(D)}\vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot (\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}) du dv \ \  (1)

Wprowadzamy naturalną parametryzację:

x(\rho, \phi) = \rho \cos(\phi), \ \ y(\rho, \phi) = \rho\sin(\phi), \ \ z = 4.

0\leq \rho \leq 1, \ \ 0\leq \phi < 2\pi.

\vec{t}_{\rho}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho}=\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y},

\vec{t}_{\phi} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}= -\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}.

\vec{t}_{\rho}\times \vec{t}_{\phi}=(\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y})\times(-\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}) = \rho \vec{e}_{z}.

Jak widzimy, wektor ten jest wektorem normalnym skierowanym do góry , a zatem orientacja , na którą zdecydowaliśmy się, wybierając parametr \rho jako pierwszy, a \phi jako drugi (czyli wektor \vec{t}_{\rho} jako pierwszy, \vec{t}_{\phi} jako drugi) zgodna jest z podaną w treści zadania.

Proszę skompletować wzór (1) - podstawiając powyższe dane i obliczyć całkę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 13:13 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: Polska
Ok, dziękuję. Mam jeszcze pytanie. Jak będzie wyglądał \vec{r}(u,v) ?
Niejasne jest dla mnie jak powstają
\vec{t}_{\rho}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho}=\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y},
\vec{t}_{\phi} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}= -\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 14:15 
Użytkownik

Posty: 4721
Wektory styczne do powierzchni \vec{t}_{\rho}, \ \  \vec{t}_{\phi} są pochodnymi cząstkowymi odpowiednio względem \rho i \phi wektora:
\vec{r}(u,v) = \vec{r}( \rho,  \phi)) = \rho\cos(\phi) \vec{e}_{x} + \rho \sin(\phi)\vec{e}_{y}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: Polska
Ok, rozumiem.
Jeśli chodzi o czynnik \vec{F}(\vec{r}(u,v)) biorąc pod uwagę powyższe podstawienie, to będzie
\vec{F} (\vec{r}(u,v))=\left[\rho \cos(\phi) , \rho \cos(\phi)  \cdot \rho\sin(\phi) , \rho \cos(\phi) \cdot \rho\sin(\phi) \cdot 4 \right] ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 4721
Tak. Pod znakiem całki pamiętamy o iloczynie skalarnym wektorów \vec{F} i \vec{t_{\rho}}\times \vec{t}_{\phi}}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 lis 2018, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: Polska
Dobrze. Dziękuję za pomoc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka powierzchniowa skierowana - zadanie 7  nibynka  3
 Całka powierzchniowa skierowana  cuube  0
 Całka powierzchniowa skierowana - zadanie 2  lukabesoin  4
 Całka powierzchniowa skierowana - zadanie 3  silvaran  2
 Całka powierzchniowa skierowana - zadanie 4  darkmiki  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl