szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Radom
Rozwiązać układ równań.
\left\{\begin{array}{l} x+z=y(x+y)\\x+y=z(y+z)\\y+z=x(x+z) \end{array}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 10:08 
Użytkownik

Posty: 1091
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Dla x+y=0, x+z=0, y+z=0 dostajemy, że trójka \left( 0,0,0\right) spełnia układ równań.
Dla x+y \neq 0, x+z \neq 0, y+z \neq 0 pomnóżmy przez siebie równania.
Dostaniemy (x+z)(x+y)(y+z)=xyz(x+y)(y+z)(x+z), możemy podzielić przez (x+z)(x+y)(y+z).
Ostatecznie mamy xyz=1, a takich trójek jest nieskończenie wiele.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 22931
Lokalizacja: piaski
Ale tylko niektóre z tych trójek (np: (1;1;1)) spełnią układ.

To, że te zera i jedynki są rozwiązaniem było można zauważyć bez żadnych przekształceń - ale jakie są (bądź nie ma) inne pozostaje do rozstrzygnięcia.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lis 2018, o 01:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
To rozstrzygnę:

wiadomo, że:

xyz=1

\begin{cases} x+z=xy+y^2\\ x+y=yz+z^2\\y+z=xz+x^2\end{cases}

dodajmy stronami:

i mamy:

2(x+y+z)=xy+xz+yz+x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz+(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)

lub:

(*)xy+xz+yz=(x+y+z)^2-2(x+y+z)

przepiszmy jeszcze raz:

\begin{cases} x+z=xy+y^2/ \cdot xy\\ x+y=yz+z^2/ \cdot yz\\y+z=xz+x^2/ \cdot xz\end{cases}


otrzymamy z uwagi na to, że:

xyz=1

\begin{cases} x^2y+1=x^2y^2+xy^3 \\ y^2z+1=y^2z^2+yz^3  \\xz^2+1=x^2z^2+zx^3 \end{cases}

przepiszmy jeszcze raz:

\begin{cases} x+z=xy+y^2/ \cdot yz\\ x+y=yz+z^2/ \cdot zx\\y+z=xz+x^2/ \cdot xy\end{cases}

otrzymamy:

\begin{cases} 1+yz^2=y+y^3z \\ 1+x^2z=z+xz^3  \\1+xy^2=x+x^3y \end{cases}

przepiszmy powyższe:

\begin{cases} x^2y+1=x^2y^2+xy^3 \\ y^2z+1=y^2z^2+yz^3  \\xz^2+1=x^2z^2+zx^3 \end{cases}

dodajmy te dwie ostatnie stronami:

otrzymamy:

6+ \sum_{}^{} x^2y=\left( x+y+z\right) + \sum_{}^{} x^2y^2 + \sum_{}^{} xy^3

To są sumy symetryczne i można je przekształcić:

3+(x+y+z)(xy+xz+yz)=x+y+z+(xy+xz+yz)^2-2xyz(x+y+z)+(xy+xz+yz)\left[ (x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\right] -xyz(x+y+z)

podstawiając:

x+y+z=a

xy+xz+yz=b

xyz=1

otrzymamy:

(**)3+ab=a^2b-b^2-2a

biorąc pod uwagę jeszcze (*), otrzymamy:

b=a^2-2a

podstawiając do (**) otrzymamy:

a^3-2a^2-2a-3=0

otrzymamy jedno rozwiązanie:

a=3

z tego:

b=3

mamy więc układ równań:

x+y+z=3

\begin{cases} x+y+z=3\\xy+xz+yz=3 \\ xyz=1 \end{cases}

przekształcając otrzymamy:

xy+(3-x-y)(x+y)=3

\frac{1}{z}+z(3-z)=3

lub:

z^3-3z^2+3z-1=0

rozwiązanie tylko:

z=1

mamy więc:

x+y=2

\begin{cases} x+y=2\\ xy=1\end{cases}

po podstawieniu mamy:

x(2-x)=1

lub:

x^2-2x+1=0

(x-1)^2=0

czyli:

x=1

a więc:

y=2-x=2-1=1

mamy więc jedyne niezerowe rozwiązanie:

(x,y,z)=(1,1,1)

jeszcze dodam, że jeżeli np:

z=0

a pozostałe nie dostajemy sprzeczność nie może być tylko jedna niewiadoma zerowa...

albo wszystkie zerowe, albo żadna...

cnd...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lis 2018, o 02:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13887
Lokalizacja: Wrocław
Jeżeli ktoś byłby zainteresowany pomysłem na krótsze rozwiązanie (no offence, arku), to dodam, że takowy pojawił się już w tym wątku: 435492.htm
(post Zahiona).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lis 2018, o 02:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3692
Lokalizacja: blisko
Jest dziwna prawidłowość między tego typu układami równań a przyznawanymi banami...

Ten kto zadaje temat z tego typu równaniami dostaje bana...

Ale to rozwiązanie z wektorami do mnie całkowicie nie przemawia...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lis 2018, o 16:36 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Bielsko-Biała
To jest zadanie 5 z aktualnej edycji Olimpiady Matematycznej. Wątek został założony wtedy, kiedy konkurs jeszcze trwał. W tym samym dniu ktoś założył taki wątek na AOPSie. Czyli ktoś tu próbował oszukiwać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Algebra] układ równań - zadanie 517  darek20  4
 [Równania] Układ równań - zadanie 11  Uzo  2
 [Równania] Ciekawy układ równań  mol_ksiazkowy  7
 [Równania] Rozwiąz układ równań  mol_ksiazkowy  2
 [Równania] Jeszcze jeden układ - zadanie 2  mol_ksiazkowy  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl