szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Hej,
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:

\frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}

Dla przypadku gdy delta < 0

mamy dwa pierwiastki:
s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0

Stosując rozkład na ułamki proste:
\frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}

s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)

Dla \ s = 0 \ A = 0

Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}

Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}

f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} + 
 \frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}

Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}

s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0
s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0

f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} + 
 \frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline
 \frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} + 
 \frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline
\frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})

I tutaj mam problem, przez to że ma:
-\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0

nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}

Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 4743
Wymnażamy licznik.

Z części rzeczywistych przy \partial tworzymy -\sin (z) a z części zespolonych przy j\omega_{o}, mnożąc i dzieląc licznik przez 2j - otrzymujemy -2\omega_{0}\cos (z).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Przepraszam, ale jeśli można by było to bez skrótów myślowych. Nie do końca wiem przez co wymnażamy licznik, więc już przy tym urywa mi się sens odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Radom
Również jestem ciekaw pełnego rozwiązania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 paź 2018, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Chwilę jeszcze pogrzebałem i znalazłem rozwiązani, które może być referencyjne:
https://www.ius.edu.ba/sites/default/fi ... nsform.pdf
strona 55

Zastanawiam się czy jest jakieś rozwiązanie by nie wyliczać argumentu liczby zespolonej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 4743
Z Twoich przekształceń

\frac{a}{\omega_{0}}\left[\frac{ -\partial e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+\partial e^{(-\partial -j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2j}\right]=\frac{-a\partial}{\omega_{0}}\left[ \frac{ e^{(-\partial +j\omega_{0})t}-e^{(-\partial -j\omega_{0})t} }{2j}\right] +\\ + a\left [ \frac{e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2}}\right] = \frac{-a\partial }{\omega_{0}}\sin(\Omega t) + a\cos(\Omega t).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Chyba jeszcze trzeba wyciągnąć z wykładnika eksponenty \partial aby zastosować wzory Eulera?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 11:47 
Użytkownik

Posty: 4743
Nie trzeba.

\cos (z) = \frac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}, \ \ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
e^{(-\partial -j\omega_{0})t}} nie jest równe e^{-iz}}

Trzeba wyciągnąć e ^{-\partial t}  e^{-j\omega_{0}t}} wtedy e^{-j\omega_{0}t} = e^{-iz}}

Przynajmniej takie było rozwiązanie gdy miałem rozwiązanie równania kwadratowego z pierwiastkami rzeczywistymi.
Tak czy siak, dzięki za pokazanie jak to ruszyć dalej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 4743
Zgadzam się z Tobą, że w wykładnikach potęgi powinny występować liczby zespolone przeciwne, a nie sprzężone. Wyłącz exponent z częścią rzeczywistą przed nawias.

Gdybyś chciał zapoznać się dokładnie z rozwiązaniami układu RLC metodą rachunku operatorowego Laplace'a zachęcam do jednego z podręczników:

Kazimierz Mikołajuk. Zdzisław Trzaska ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych. PWN Warszawa 1984.

Zdisław Klonowicz. Zdzisław Zubrzycki Teoria Obwodów Tom I PWN wARSZAWA 1983.

Maciej Krakowski. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA .Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa 1981.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 paź 2018, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję za pozycję, chętnie je nabędę by poszerzyć swoją wiedzę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie transformacji Laplace'a.  Anonymous  5
 Transformacja Laplace'a.  Anonymous  0
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl