szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 paź 2018, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 5839
Lokalizacja: Kraków
Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Oz zwoju linii śrubowej
\begin{cases} x= 3 \cos(t) \\ y = 3 \sin(t) \\ z=2t \end{cases}
dla 0 \leq t \leq 2\pi,
Jeśli gęstość masy \lambda (x, y, z)= z
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 paź 2018, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 6260
Lokalizacja: Staszów
Promień walca na który nawiniętej linii śrubowej, promień jej środków:

r^2 = x^2 + y^2 = \left((3 \cos (t) \right) ^2 + \left( 3 \sin (t)\right)^2 =3^2

stąd: r=  \sqrt{3^2} = 3

Gęstość linii jest zmienna wg liniowej zależności :

\lambda = z = 2t
gdzie t jest kątem obrotu promienia względem osi walca podziałowego.
Zauważmy, że moment bezwładności J_z tej linii względem osi walca podziałowego nie zależy od skoku P linii śrubowej a od ilości zwojów i , promienia nawinięcia r i masy linii i jest momentem biegunowym rzutu tej linii na płaszczyznę prostopadłą do osi walca podziałowego o masie i krotnie większej od masy jednego zwoju, obliczonym względem punktu przebicia płaszczyzny prostopadłej do osi walca podziałowego osią podłużną.

W zadaniu, gęstość linii zmienia się wprost proporcjonalnie do kąta t, i dla t = 0  \   \lambda_{t=0} =0
Na końcu jednego skoku linii, czyli dla z = 2t = 2 \cdot 2 \pi

\lambda _ {t=2 \pi } = 4 \pi

Średnia gęstość linii \overline{\lambda} =   \frac{1}{2} \left( \lambda_{t=0} + \lambda_{t=2 \pi } \right)=  \frac{1}{2}  \lambda_{t=2 \pi} = 2 \pi

Masa linii: m = \overline{\lambda}  \cdot l

a jej długość: l =  \sqrt{P^2 +(2 \pi r)^2 } =  \sqrt{(2t)^(2  \pi r)^2  }

l =  \sqrt{(2 \cdot 2 \pi)^2 + (2 \pi )^2 \cdot  3^2 } = 2 \pi  \sqrt{13}

zatem masa linii m = 2 \pi  \cdot 2  \pi   \sqrt{13}= 4  \pi ^2  \sqrt{13}

a jej moment bezwładności względem osi walca podziałowego

J_z = mr^2 = 4  \pi ^2  \sqrt{13} \cdot 3^2 = 52  \pi ^2  \sqrt{13}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 moment statyczny - zadanie 7  cichy767  9
 Moment Markowa  leszczu450  19
 Klocki połączone linką. Moment bezwładności.  puppy123  13
 środek masy i moment bezwładności  conrad  1
 Moment bezwładności względem środka ciężkości przekroju  Fryc  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl