szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 8 paź 2018, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pokaż, że jeżeli A,\ B są względnie pierwszymi liczbami dodatnimi, to
\left[\frac{A}{B}\right]+\left[\frac{2A}{B}\right]+\dots+\left[\frac{(B-1)A}{B}\right]=\left[\frac{B}{A}\right]+\left[\frac{2B}{A}\right]+\dots+\left[\frac{(A-1)B}{A}\right].

[\cdot] oznacza część całkowitą.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 paź 2018, o 11:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3705
Lokalizacja: blisko
Łatwo sie to wykazuje z równości:

\left[  \frac{p}{q} \right]= \frac{p-x}{q}

x to taka najmniejsza liczba spełniająca tę równość..

liczba x < qi to jest klucz do zadania.

w zadaniu będa wszystkie reszty to się ładni doda...


\left[  \frac{A}{B} \right] = \frac{A-x_{1}}{B}

\left[  \frac{2A}{B} \right] = \frac{2A-x_{2}}{B}

..............................................................................................

\left[  \frac{(B-1)A}{B} \right] = \frac{(B-1)A-x_{B-1}}{B}

x_{i} - są to liczby minimalne, zauważmy że to są wszystkie reszty z dzielenia przez B

następnie:

\left[  \frac{B}{A} \right] = \frac{B-y_{1}}{A}

\left[  \frac{2B}{A} \right] = \frac{2B-y_{2}}{A}

......................................................................................

\left[  \frac{(A-1)B}{A} \right] = \frac{(A-1)B-y_{A-1}}{A}

y_{i} - wszystkie reaszty z dzielenia przez A

zsumujmy jedno i drugie i otrzymamy to samo...


Zauważmy, że:

x_{1}+x_{2}+...+x_{B-1}=1+2+...+(B-1)= \frac{B(B-1)}{2}

y_{1}+y_{2}+...+y_{A-1}=1+2+...+(A-1) = \frac{A(A-1)}{2}

To są tylko permutacje wszystkich reszt

Po zwinięciu prawej lub lewej strony otrzymamy:

\frac{(A-1)(B-1)}{2}

Temat umieszczony w złym dziale...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znowu ta równość...  Karmi  1
 trapez..ciekawa figura  doma167.87  3
 Równość z pewną ciekawą własnością  Karmi  1
 znowu równość  monia_sss  1
 Udowodnij równość - zadanie 19  dkmd  3
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl