szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 6 paź 2018, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 4794
Proszę zbadać monotoniczność ciągu liczbowego o wyrazie ogólnym:

d_{n} = \frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}.

I

d_{n+1}- d_{n} = \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n+2}+3^{n+2}}- \frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}= \frac{(2^{n+1}+3^{n+1})^2 - (2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n}+3^{n})}{(2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n+1}+3^{n+1})} = ... = \frac{-5\cdot 6^{n}-54\cdot 3^{n}}{(2^{n+2}+3^{n+2})(2^{n+1}+3^{n+1})}< 0.

II

Zapisujemy wyraz ogólny ciągu w postaci sumy dwóch wyrazów ogólnych ciągów:

d_{n} =\frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}}= \frac{2^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}} + \frac{3^{n}}{2^{n+1}+3^{n+1}} = d_{1}+ d_{2}

i badamy monotoniczność ciągów (d_{1}),  (d_{2}).

Stwierdzamy metodą j.w., że są to ciągi malejące.

Korzystamy z twierdzenia " suma ciągów malejących jest ciągiem malejącym".

III

Badamy iloraz wyrazów ogólnych ciągów:

\frac{d_{n+1}}{d_{n}} i stwierdzamy, że jest on mniejszy od jedności.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 paź 2018, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 16622
Lokalizacja: Bydgoszcz
Brawo ! Pięknie umiesz.

Szczególnie w drugiej metodzie wspaniale wygląda zapis d_n=(...)=d_1+d_2

A ponadto (2^{n+1}+3^{n+1})^2-(2^{n+2}+3^{n+2})(2^n+3^n)=-6^n
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 paź 2018, o 01:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Wielce szanowny panie a4karo, uniżenie proszę o zwrócenie uwagi na taki drobiazg, iż przed wykrzyknikiem nie należy stawiać spacji.

BTW Jak już czepiamy się jakichś głupotek, to suma skończenie wielu ciągów malejących jest ciągiem malejącym.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 monotoniczność ciągu - zadanie 2  tomekbobek  5
 monotoniczność ciągu - zadanie 3  radzik  4
 Monotoniczność ciągu - zadanie 8  eerroorr  4
 Monotoniczność ciągu - zadanie 9  Rothman  4
 Monotoniczność ciągu - zadanie 10  enigma007  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl