szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 wrz 2018, o 18:10 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
01. Pokazać, że równanie
x^2 + y^2 + z^2 = (x - y)(y - z)(z - x)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

02. Niech a, b, c będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 1
Udowodnij, że abc \le 1/8.

03. Rozwiąż w liczbach całkowitych x,y,z:
x + y = 1 - z, \ \ x^3 + y^3 = 1 - z^2

04. Niech a, b, c będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
\frac{(b + c - a)^2}{(b + c)^2 + a^2} + \frac{(c + a - b)^2}{(c + a)^2 + b^2} + \frac{(a + b - c)^2}{(a + b)^2 + c^2} \ge \frac{3}{5}

05. Niech a, b, c będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że abc = 1. Udowodnij, że
\frac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^3}{(c - a)(c - b)} \ge 3

06. Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 3. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (a,b) spełniające równanie
a^2 + 3ab + 2p(a + b) + p^2 = 0.

07. Niech x, y będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y = 2. Udowodnij, że
x^3 y^3(x^3 + y^3) \le 2

08. Niech a, b, c będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że a + b + c \ge abc. Udowodnij. że a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{3}abc.

09. Niech a,b,c,d,e,f będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że
\frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}
Przyjmijmy założenie, że af - be = -1. Pokazać, że d \ge b + f.

10. Udowodnij dla x, y > 0.
\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}

11. Niech a, b, c będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\frac{ab}{1 + bc} + \frac{bc}{1 + ca} + \frac{ca}{1 + ab} = 1
Udowodnij, że \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \ge 6 \sqrt{2}.

12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek (x,y,z) w liczbach całkowitych takich, że x^3 + y^4 = z^{31}.

13. Oznaczmy obecny wiek dwóch braci literkami a i b oraz ojca literką c, ponadto literki a,b,c to trzy różne dodatnie liczby całkowite. Niech \frac{b - 1}{a - 1} \text{ i } \frac{b + 1}{a + 1} będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, oraz \frac{c - 1}{b - 1} \text{ i } \frac{c + 1}{b + 1} będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi. Jeśli a + b + c \le 150, ustalić a,b,c.

14. Znajdź wszystkie czwórki (a,b,c,d) w liczbach naturalnych takie, że a \le b \le c  \text{ i } a! + b! + c! = 3^d.

15. Jeśli a,b,c,x są liczbami rzeczywistymi takimi, że abc \neq 0  \text{ i } 
\frac{xb + (1 - x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x)b}{c}.
Udowodnij, że wtedy a + b + c = 0 lub a = b = c.


\\Edycja -poprawiono zadanie 5, pomyliłem literki oraz w zadaniu 11 zwrot nierówności. Przepraszam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 wrz 2018, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13885
Lokalizacja: Wrocław
2.:    



4.:    



7.:    


8.:    


10.:    


11. błąd w treści…:    


14.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 wrz 2018, o 06:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7041
3:    

13:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 wrz 2018, o 22:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13885
Lokalizacja: Wrocław
12.:    
Góra
Kobieta
PostNapisane: 26 wrz 2018, o 09:44 
Użytkownik

Posty: 1425
5.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 wrz 2018, o 04:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13885
Lokalizacja: Wrocław
6.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 wrz 2018, o 13:16 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
Ad.06.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 paź 2018, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
Ad.09.:    


:arrow: Nierozwiązane zadania to: 01, 15.

-- 7 paź 2018, o 05:05 --

Wskazówki do zadań:
Ad.01.:    

Ad.15.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 paź 2018, o 01:17 
Użytkownik

Posty: 714
Lokalizacja: Polska
Ad.01.:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Algebra] Oblicz bez użycia kalkulatora - zadanie 4  Sever94  1
 [Algebra] Istnienie liczby naturalnej  scoopler  0
 [Algebra] Wyznaczanie sum i iloczynow - zadanie 2  krokus50  30
 [Algebra] Przegubowy patyczak przed IMO  ElEski  6
 [Algebra] Siódemka  Elayne  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl