szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2018, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Katowice
Mam za zadanie znaleźć rozkład brzegowy koła o środku w punkcie S=(0,0) i promieniu r=1
f(x,y) =  \begin{cases}  x^{2} + y ^{2}=1,   &x  \in [-1,1],  y \in [- \sqrt{1- x^{2}},  \sqrt{1- x^{2}  } ]   \\ 0, &\mbox{poza} \end{cases}

f(x)= \int_{- \sqrt{1- x^{2}}}^{\sqrt{1- x^{2}}}  x^{2} + y^{2}  dy= 2x ^{2}  \sqrt{1- x^{2} } + \frac{2}3{} ( \sqrt{1- x^{2} } )^{3}
i nie wiem jak mają wyglądać przedziały drugiej całki
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 wrz 2018, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 4600
R = \sqrt{X^2 +Y^2}

I
Prawdopodobieństwo zdarzenia:

\{ (X,Y) \in K\) = \{ X^2 +Y^2 \leq r^2\}

może być zapisane w dwóch wariantach:

P(\{R < 1)\}) = \int_{0}^{1} 2\pi \lambda r e^{-2\pi r^2 }dr=... ( rozkład Rayleigh'a)

Pr(\{ (X,Y) \in K\}) = Pr( \{ X^2 +Y^2 \leq 1\}) = \iint_{(K)}f(x,y) dx dy. (1)

gdzie:

f(x,y) - gęstość łączna wektora losowego (X, Y).

Ze względu na symetrię możemy zauważyć, że funkcja f(x,y) zależy tylko od odległości

f(x,y) = g(r)

gdzie:

r = \sqrt{x^2 +y^2}.

Przechodząc do współrzędnych biegunowych ( r, \phi):

Pr(\{ (X,Y)\in K\}) = \int_{0}^{\2\pi}d\phi \int_{0}^{r} g(r) dr = 2\pi \int_{0}^{r}g(r)dr (2)

Porównując (2) i (1) otrzymujemy:

g(r) = \lambda e^{-\pi \lambda r^2}.

g(1) = \lambda e^{-\pi \lambda}

f(x,y) = \lambda e^{-\pi \lambda (x^2 +y^2)}.

II

Jeśli założymy, że (X,Y) ma rozkład jednostajny w kole jednostkowym, to

Pr(\{ (X,Y)\in K \}) = \frac{|K|}{\pi}.

Rozpatrując zmienną losową R = \sqrt{X^2 +Y^2} zdarzenie \{ R\leq r\},\ \ 0\leq r \leq 1 jest tym samym zdarzeniem, co zdarzenie \{ (X,Y\in K \} .

Stąd:

Pr (\{ R \leq r\}) = \frac{\pi r^2}{\pi} = r^2 dla 0 \leq r \leq 1.

Wprowadzając współrzędne biegunowe i korzystając z definicji rozkładu łącznego:

Pr(\{R \leq r\}) = \frac{1}{\pi}\iint _{x^2+y^2\leq r^2}dx dy =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho d\rho d\phi  = \int_{0}^{r} 2\rho d\rho = r^2.

Ostatecznie

P(\{R^2 \leq r \}) = P(\{R \leq \sqrt{r}\}) = r. dla 0\leq r \leq  1.

Można teraz obliczyć gęstość jako pochodną dystrybuanty:

f_{R^2}(r) = \frac{d\sqrt{r}}{dr} = \frac{1}{2\sqrt{r}}, \ \ 0< r \leq 1

Funkcja gęstości tego rozkładu:

f_{R}(r) = cr \textbf{1}_{r\in [0,1]}.

gdzie:

\int_{0}^{1}c \cdot r = 1 \rightarrow  c = 2.

f_{R}(r} =  2r \textbf{1}_{r\in[0,1]}

Dokonując zamiany zmiennych:

f_{R^2}(\rho) = f_{R}(\sqrt{\rho}) \cdot \left| \frac{d\sqrt{\rho}}{d\rho}\right |.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozkłady brzegowe - zadanie 2  ela696  6
 rozkłady brzegowe - zadanie 3  waliant  1
 Rozkłady brzegowe  Whiten  3
 Rozkłady warunkowe  Olga_wwy  0
 Rozkład normalny, inne rozkłady, twierdzenia graniczne  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl