szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 6 wrz 2018, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Rozwiązać układ trzech równań ze zmiennymi x, y, z:\left\{\begin{array}{l} \frac{yz}{y+z}=a\\\frac{xz}{x+z}=b\\\frac{xy}{x+y}=c\end{array}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 wrz 2018, o 15:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Oczywiście co najwyżej jedna zmienna może być równa zero i taka możliwość istnieje tylko gdy dwa spośród parametrów a,b,c mają wartość 0. Wówczas łatwo podać rozwiązania.

Zakładając zaś, że abc\neq 0 możemy sprowadzić ten układ do następującego:
\begin{cases} \frac 1 y+\frac 1 z=\frac 1 a \\ \frac{1}{z}+\frac 1 {x}=\frac 1 b\\ \frac 1 x+\frac 1 y=\frac 1 c \end{cases}
i stąd łatwo wyliczyć, że
\frac 1 x=\frac 1 2\left( \frac 1 b+\frac 1 c-\frac 1 a\right)\\ \frac 1 y=\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 c-\frac 1 b\right)\\ \frac 1 z=\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 b-\frac 1 c\right)
Jeśli któryś z tych czynników w dużych nawiasach jest zerem, to nie ma rozwiązań, a w przeciwnym razie
x=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 b+\frac 1 c-\frac 1 a\right)}\\ y=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 c-\frac 1 b\right)}\\ z=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 b-\frac 1 c\right)}

Generalnie najważniejszą moją obserwacją tutaj jest to, że jeśli xy\neq 0, to
\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{\frac 1 x+\frac 1 y}, co jest na poziomie późnej podstawówki lub czegoś w tych okolicach.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Finał XXX konkursu im. Jana Marszała - zadanie 2  Lee Cler  2
 Układ równań z trzema niewiadomymi (konkurs Marszała)  tangerine11  12
 układ równań, konkurs łódzki, poziom Ikl. LO  krzysiek2328  1
 Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała  Gos_ox  7
 Kilka zadań z konkursu gimnazjalnego  zelir  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl