szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 wrz 2018, o 11:10 
Użytkownik

Posty: 5809
Lokalizacja: Kraków
Niech a_1, …, a_n oraz b_1, …, b_n będą ciągami różnych 2n liczb rzeczywistych. Ciągi te uporządkowano rosnąco konstruując ciągi \alpha_1, …, \alpha_n oraz \beta_1, …, \beta_n.
Udowodnić, że \max_{1 \leq j \leq n} |a_j - b_j| \geq  \max_{1 \leq j \leq n} |\alpha_j - \beta_j|
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 gru 2018, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
Niech j_0 będzie taką liczbą, że

|\alpha_{j_0}-\beta_{j_0}| = \max_{1\leq j \leq n}|\alpha_j - \beta_j|

Bez zmniejszania ogólności możemy dodatkowo założyć, że \alpha_{j_0}\geq \beta_{j_0} czyli

\alpha_{j_0}-\beta_{j_0} = \max_{1\leq j \leq n}|\alpha_j - \beta_j|

Wystarczy pokazać, że dla dowolnej permutacji \sigma: \{1,2,...,n\}\rightarrow \{1,2,...,n\} zachodzi

\max_{1\leq j\leq n}|\alpha_j - \beta_{\sigma(j)}| \geq \max_{1\leq j\leq n}|\alpha_j-\beta_j| = \alpha_{j_0}-\beta_{j_0}

Ustalmy permutację \sigma. Jeżeli \sigma(j_0)\leq j_0, to na mocy tego, że ciąg \{\beta_{j}\}_{1\leq j\leq n} jest rosnący oraz \alpha_{j_0}-\beta_{j_0}\geq 0, otrzymujemy

\max_{1\leq j\leq n}|\alpha_j - \beta_{\sigma(j)}| \geq |\alpha_{j_0}-\beta_{\sigma(j_0)}| = |\alpha_{j_0}-\beta_{j_0} + \beta_{j_0}-\beta_{\sigma(j_0)}| =

=(\alpha_{j_0}-\beta_{j_0})+(\beta_{j_0}-\beta_{\sigma(j_0)})\geq \alpha_{j_0}-\beta_{j_0}

i mamy tezę. Zatem możemy przyjąć, że \sigma(j_0) > j_0. Łatwo wykazać, że przy tym założeniu istnieje j_1 takie, że j_0<j_1\leq n oraz \sigma(j_1)\leq j_0. Wówczas na mocy tego, że ciągi \{\alpha_{j}\}_{1\leq j\leq n},\,\{\beta_{j}\}_{1\leq j\leq n} są rosnące oraz \alpha_{j_0}-\beta_{j_0}\geq 0, otrzymujemy

\max_{1\leq j\leq n}|\alpha_j - \beta_{\sigma(j)}| \geq |\alpha_{j_1}-\beta_{\sigma(j_1)}|= |\alpha_{j_1}-\alpha_{j_0}+\alpha_{j_0}-\beta_{j_0}+\beta_{j_0}-\beta_{\sigma(j_1)}| =

=(\alpha_{j_1}-\alpha_{j_0})+(\alpha_{j_0}-\beta_{j_0})+(\beta_{j_0}-\beta_{\sigma(j_1)})\geq \alpha_{j_0}-\beta_{j_0}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Własność granic (dowód)  Marian517  1
 Własność monotoniczności  mol_ksiazkowy  1
 własność ciągu  Świeżak  4
 własność granic - zadanie 2  saleensol  2
 Własność sumy  Kamiangel  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl