szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 1 wrz 2018, o 14:24 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Powierzchnia M = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=\sqrt{z}>0\} jest zorientowana tak, że ujemna strona jest widoczna, a dodatnia niewidoczna z (0,0,\frac12). Oblicz strumień pola wektorowego [\frac{x}{z},\frac{y}{z},\sqrt{z}] przez powierzchnię M ze strony ujemnej na dodatnią, czyli \int_M [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge  dy]. Czy zbiór M \cup \{(0,0,0)\} jest rozmaitością?

(źródło: https://www.mimuw.edu.pl/~kk262640/analizamatzim1213/egzaminyikolokwia/am2_07_09_03_egz.pdf)

Przekrój M na wysokości z jest okręgiem o promieniu \sqrt{z} - z^2. To się zeruje w z=0 oraz z=1 i ma maksimum (1) dla \frac{1}{2\cdot2^{\frac13}}.
I punkt (0,0,1/2) jest wewnątrz M, więc strona dodatnia to jest ta zewnętrzna.

Żeby policzyć całkę (chyba) można skorzystać z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego. Niech M = \partial A

\int_{\partial A} [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge  dy] = \int_A \pm \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z).

Ale jak wygląda sprawa ze znakami przy tej orientacji?

Czy można obliczyć całkę w ten sposób? (równość z tw. Fubiniego)
\int_A \pm \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z) = 
\int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{2\sqrt{z}} )(\int_{A_z} 1 d\lambda_2(x,y)) dz
Gdzie A_z jest przekrojem "na wysokości" z. Wtedy \lambda_2(A_z) = \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2

I ostatecznie do policzenia byłaby całka \int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{z} \pm  \frac{1}{2\sqrt{z}}) ( \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2) dz?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdzić tezę tw. Stokesa-Ampera dla pola wekt. i krzywej L  Novy  2
 Strumień pola wektorowego - zadanie 13  PAK  4
 Cztery zadania z pola wektorowego (tw. Stokesa i GGO)  TomoMadej  1
 Strumień pola wektorowego - zadanie 9  mcmcjj  14
 Oblicz strumień pola wektorowego - zadanie 2  Cjnek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl