szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sie 2018, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Kutno
Mam problem z dwoma przykładami:

a) y' + \frac{7}{x} \cdot y = 2x

b) y'' - 9y' = x+1

Zerkałem w algorytm na stronie PWJSTK, musi na kolokwium być to zrobione krok po kroku, gotowe wzory odpadają. W pierwszym przykładzie niestety wyrażenia z uzmiennioną stałą się nie skracają, tak jak zazwyczaj się dzieje, więc nie wiem co zrobić dalej...

Bardzo proszę o pomoc, algorytm, naprowadzenie, cokolwiek :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sie 2018, o 13:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14103
Lokalizacja: Wrocław
a) Podstaw y=xu(x), a otrzymasz:
8u+xu'=2x
Rozwiązaniem równania jednorodnego:
8u+xu'=0
jest, jak łatwo się przekonać, u(x)=frac{C}{x^8}.
Teraz równanie 8u+xu'=2x rozwiązujemy, uzmienniając stałą.
C:=C(x) i wstawiamy do naszego równania niejednorodnego:
8frac{C(x)}{x^8}+xleft( frac{-8C(x)}{x^9}+frac{C'(x)}{x^8}
ight) =2x\C'(x)=2x^8\ C(x)=frac 2 9 x^9+D,  D
to jest dowolna stała.
Zatem
u(x)=ldots \ y(x)=xu(x)=ldots
Mogłem się pomylić w jakichś szczegółach obliczeniowych, bo za często całkuję przez zgadywanie, ale taka jest idea.

b) To szybciej wyjdzie metodą przewidywań, nie chce mi się tego klepać metodą uzmienniania stałej.
O metodzie przewidywań masz tutaj:
140782.htm
306635.htm

-- 24 sie 2018, o 12:24 --

Chociaż w przykładzie b) nie zauważyłem, że tam jest tylko y'' i y', nie ma y, więc podstawiasz u=y' i masz równanie liniowe niejednorodne pierwszego stopnia, a to też łatwo pójdzie metodą uzmienniania stałej. Przy równaniach liniowych niejednorodnych drugiego stopnia jeśli się da, to chyba lepiej rozwiązywać metodą przewidywań, ponieważ metoda uzmienniania stałej w tym wypadku wymaga rozważania wrońskianu, jak pamiętam (chyba że ktoś ma wryte na blaszkę pewne wzory). Czasami produkuje to nie za łatwe obliczenia.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sie 2018, o 17:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
kieubass napisał(a):

a) y' + \frac{7}{x} \cdot y = 2x

W pierwszym przykładzie niestety wyrażenia z uzmiennioną stałą się nie skracają, tak jak zazwyczaj się dzieje, więc nie wiem co zrobić dalej...


RJ:\\
y'= \frac{-7y}{x}\\ 
\ln y=-7\ln x +C\\
y= \frac{C}{x^7} \Rightarrow y'= \frac{C' \cdot x^7-C \cdot 7x^6}{x^{14}} \\
\\
RNJ:\\
\frac{C'x^7-7Cx^6}{x^{14}}+ \frac{7}{x} \frac{C}{x^7}=2x\\
C'=2x^8\\
C= \frac{2}{9} x^9+K\\
y=\frac{\frac{2}{9} x^9+K}{x^7}\\
y= \frac{K}{x^7}+\frac{2}{9} x^2
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2018, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 216
Lokalizacja: Kutno
kerajs napisał(a):

\ln y=-7\ln x +C\\
y= \frac{C}{x^7} \Rightarrow y'= \frac{C' \cdot x^7-C \cdot 7x^6}{x^{14}} \\



A przepraszam, skąd wzięło się tutaj to y= \frac{C}{x^7}?
Bo ogólnie wszystko spoko, ale nie rozumiem tego przejścia :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 wrz 2018, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Śląsk
To jest wykorzystanie własności logarytmów:
\log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b\cdot c)
y \log_a(x)=\log_a(x^y) oraz
a^{\log_a(x)}=x
W powyższym rozwiązaniu w
Cytuj:
\ln y=-7\ln x+C

C potraktowano jako C=\ln C_1 więc formalnie y=\frac{C_1}{x^7}, ale to nie ma większego znaczenia, ponieważ C można wybrać dowolnie, więc zwykle nikt się takim "utożsamianiem" nie przejmuje.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl