szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sie 2018, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Gdzieś
Rozwiązać w liczbach całkowitych x i y równanie
x^{4}-2x^{3}+x= y^{4}+3y^{2}+y.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 sie 2018, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: PL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(4)-2x%5E(3)%2Bx%3D+y%5E(4)%2B3y%5E(2)%2By
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 sie 2018, o 18:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7056
a)
x(x-1)(x^2-x-1)=y(y^3+3y+1) \wedge x,y \in \ZZ
Prawą strona przyjmuje wartość 0 tylko dla y=0 stąd rozwiązania:
\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}  \vee  \begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}

b)
zał: y \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}

\left[ x(x-1)\right]\left[ x(x-1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2
Po obu stronach równania jest iloczyn dwóch kolejnych dodatnich liczb naturalnych.
(p+1)p=q(q+1)+y-2
1) zał: x(x-1)-1 =p=q=y^2+1
\left[ y^2+1+1\right]\left[ y^2+1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2  \\
y=2
co wstawiając do założenia daje kolejne rozwiązania:
\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}  \vee  \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}
2) zał: x(x-1) =p+1=q=y^2+1
\left[ y^2+1\right]\left[ (y^2+1)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2  \\
y=0 \vee y= \frac{-1}{2}
Wyliczone y-greki nie spełniają założenia
3) zał: x(x-1) -1=p=q+1=y^2+2
\left[ y^2+3\right]\left[ (y^2+3)-1\right]=\left[ y^2+1\right]\left[ y^2+2\right] +y-2  \\
2y^2-y+6=0
Uzyskane równanie nie ma rozwiązania.
4) skoro dla p,q różniących się o 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów \left|p(p+1)-q(q+1) \right| przekracza \left| y-2\right| (dla y-greków całkowitych i różnych od zera), to tym bardziej dla p,q różniących się o więcej niż 1 wartość bezwzględna różnicy iloczynów będzie większa od \left| y-2\right|, czyli nie będzie więcej rozwiązań.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11 - zadanie 2  zbystura  5
 [Teoria liczb] Równanie w naturalnych z Pawłowskiego  Linka  7
 [Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne  _el_doopa  1
 [Teoria liczb] Suma odwrotności dzielników liczby naturalnej  Sun Tsu  2
 [Teoria liczb] Kwadrat liczby naturalnej  Marcin16  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl