szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 sie 2018, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 2358
Lokalizacja: Kraków
Niech A=\left\{ (x,y) \in \RR_+^2: 1 \le xy \le 4,1 \le  \frac{y}{x} \le 4 \right\}.
Obliczyć granicę:
\lim_{n \to \infty} \int_{A}^{} \frac{\ln (n+y^3)-\ln n}{\sin ( \frac{x}{n} )}d\lambda_2

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Liczę granicę:
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n+y^3)-\ln n}{\sin ( \frac{x}{n} )}= \frac{y^3}{x}
Przekształcam zbiór A:
1 \le xy \le 4 \Rightarrow 1/x \le y \le 4/x
1 \le y/x \le 4 \Rightarrow x \le y \le 4x,
a zatem ten zbiór to taki krzywy "romb". Zakres x obliczam z przyrównania 1/x=4x \Rightarrow x=1/2 i 4/x=x \Rightarrow x=2, analogicznie wyznaczam zakres y. Czyli x \in \left[ 1/2,2\right],y \in \left[ 1,4\right].
Dalej próbuję szacować:
\sin x=x-x^3/6+.... Niech \phi (x)=\sin x-(x-x^3/6),\phi ' (x)=\cos x-1+x^2/2. Dla x>0 pochodna jest dodatnia. \phi(0)=0, a zatem dla x>0 \sin (x)-(x-x^3/6)>0 czyli \sin x>x-x^3/6. Szacuję:
\frac{\ln (1+y^3/n)}{\sin (x/n)}< \frac{y^3/n}{x/n-x^3/(6n^3)}= \frac{y^3}{x-x^3/(6n^2)}. Teraz patrze mianownik, kiedy jest najmniejszy:
Pochodna (x-x^3/(6n^2))'=1-x^2/(2n^2) dla x>0 jest maksimum dla x=\sqrt{2}n. Sprawdzam na krańcach przedziału x. Dla x=1/2 jest
1/2-1/(48n^2) czyli najmniej będzie dla n=1 czyli 23/48. Dla x=2 będzie 2-8/(6n^2) czyli na pewno więcej. Wracam do poprzedniego szacowania:
\frac{y^3}{x-x^3/(6n^2)} \le  \frac{y^3}{23/48} czyli istnieje majoranta.
Czyli można wejść z granicą pod całkę.
Czyli trzeba policzyć
\int_{A}^{}y^3/x d\lambda_2= \int_{A}^{}y/x \cdot y/x \cdot xy d\lambda_2. Wprowadzam nowe zmienne: u=xy,v=y/x. Z tego wynika, że x= \sqrt{ \frac{u}{v} } ,y= \sqrt{uv}. x'_u= \frac{1}{ 2\sqrt{uv} },y'_u= 1/2\frac{ \sqrt{v} }{ \sqrt{u} }  ,x'_v= \sqrt{u} \cdot (-1/2) \cdot v^{-3/2},y'_v= \sqrt{u} \cdot 1/2 \cdot  \sqrt{ \frac{1}{v} }. Jakobian
\left|  \frac{1}{4v^2}+ \frac{1}{4v}  \right|. Obliczam całkę
\int_{A}^{}y/x \cdot y/x \cdot xy d\lambda_2= \int_{1}^{4 }\int_{1}^{4} uv^2( \frac{1}{4v}+ \frac{1}{4v^2})dudv= \int_{1}^{4  }\int_{1}^{4}uv/4+u/4dudv= \int_{1}^{4}15/8(v+1)dv=225/16+45/8=315/16.
Czy tak jest dobrze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyc granice  Zepp  3
 obliczyć granicę  norbaz  4
 Obliczyć granice  Deiwos  2
 Obliczyć granice - zadanie 2  sidor111  2
 obliczyc granice - zadanie 2  dora  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl