szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 sie 2018, o 23:56 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
Dana jest rozmaitość M=\left\{ \left( x,y,z\right) \in {\RR^3}:1<z= \sqrt{x^2+y^2}<2  \right\} zorientowana następująco: w każdym punkcie wektor normalny wyznaczający stronę dodatnią ma składową z-ową ujemną. Obliczyć całkę po M z formy \omega=xdy \wedge dz-(y+2z)dz \wedge dx+dx \wedge dy.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Parametryzuję w ten sposób:
x=r\cos \phi
y=r\sin \phi
z=r
1<r<2
0<\phi<2\pi
dx=\cos \phi dr-r \sin \phi d\phi
dy=\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi
dz=dr
i wstawiam do formy:
\int_{S}^{}r\cos \phi (\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi) \wedge dr-(r\sin \phi +2r)dr \wedge (\cos \phi dr+r\sin \phi d\phi)+(\cos \phi dr-r\sin \phi d \phi) \wedge (\sin \phi dr + r \cos \phi d\phi)=
= \int_{X}^{}r^2\cos ^2 \phi d\phi \wedge dr+(r^2 \sin^2\phi-2r^2\sin \phi)dr \wedge d\phi +r\cos ^2 \phi d r \wedge d \phi-r \sin^2 \phi d \phi  \wedge dr=
= \int_{S}^{}-r^2\cos ^2 \phi dr \wedge d\phi+(r^2\sin ^2 \phi-2r^2\sin \phi )dr \wedge d \phi+r\cos ^2 \phi dr \wedge d \phi+r \sin ^2 \phi dr  \wedge d \phi=
= \int_{S}^{}(-r^2 \cos ^2 \phi+r^2 \sin ^2 \phi-2r^2 \sin \phi+r \cos ^2 \phi+r \sin ^2 \phi )dr \wedge d \phi=
= \int_{S}^{}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r) drd\phi= \int_{0}^{2\pi}  \int_{1}^{2}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r)drd\phi=
= \int_{0}^{2\pi}-1/3 \cdot 7\cos2\phi -2/3 \cdot 7\sin \phi +3/2d\phi=-7/6\sin 2\phi +14/3\cos \phi+3/2\phi w granicy od zera do dwóch pi to się równa
28/3+3\pi=3\pi+7 \frac{1}{3}.
Czy tak jest dobrze?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 08:53 
Użytkownik

Posty: 4727
Sprawdź orientację. Obliczenia są poprawne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
Właśnie mam z tym problem. Wektor normalny do tej powierzchni to [2x,2y,-2z]. I trzeba policzyć iloczyn skalarny tego wektora z jakimś innym, ale nie pamietam z którym i ma wyjść na plusie. Możesz wyjaśnić?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 4727
Znajdź dla przyjętej parametryzacji wektor normalny \vec{n} = \frac{\vec{t}_{\phi}  \times\vec{t}_{r}}{|\vec{t}_{\phi}  \times \vec{t}_{r}|}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
No dobra to robię tak:
t_\phi=[\cos \phi,\sin \phi,1]
t_\phi=[-r\sin \phi,r\cos \phi,0]
\vec{t}_{\phi} \times\vec{t}_{r}=[r\cos\phi ,-r\sin \phi ,r\cos ^2 \phi - r\sin ^2 \phi]
|\vec{t}_{\phi} \times \vec{t}_{r}|= \sqrt{2r^2+r^2\cos 2\phi}
O to chodziło? No dobra i co dalej z tym?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 21:57 
Użytkownik

Posty: 4727
Popraw drugi składnik normy tego wektora.

Tworzysz wektor \vec{n}

Podstawiasz do niego (jak w całce) zakresy wartości r , \phi obliczając dla nich współrzędne tego wektora.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 sie 2018, o 00:51 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
No poprawiłem. No zakresy to r \in \left( 1,2\right),\phi \in \left( 0,2\pi\right) i co mam podstawić? Końce przedziałów? Czy długość przedziału?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 sie 2018, o 10:08 
Użytkownik

Posty: 4727
Wyłączamy z licznika i mianownika r upraszczamy.

Obliczamy współrzędne wektora \vec{n} dla \phi = 0 i \phi = 2\pi. i sprawdzamy , czy wektor normalny wyznaczający stronę dodatnią ma składową z ujemną.

Jeśli tak przyjęta przez Ciebie orientacja jest właściwa, jeśli nie zmieniamy orientację na przeciwną.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
No to w zasadzie tylko licznik można sprawdzić. Po skróceniu to będzie [1,0,1] dla \phi=0 i ten sam wektor dla \phi=2\pi
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 cyrkulacja pola wektorowego (pole nie jest potencjalne)  wisnia7  2
 Sprawdzic czy zbior jest podrozmaitoscia  uzytkown  6
 Udowodnić, że jest to rozmaitością...  elpopo  1
 Czy dany zbiór jest rozmaitością - metody sprawdzania  czarnakawka  0
 Uzasadnij że pole jest potencjalne i oblicz całkę  luthien91  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl