szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sie 2018, o 21:55 
Użytkownik

Posty: 2342
Lokalizacja: Kraków
Obliczyć całkę z formy różniczkowej:
\omega= \frac{x^2y^4(5xdy-3ydx)}{x^6+y^{10}}
wzdłuż łuku elipsy \left\{ \left( x,y\right) \in \RR^2: (x-1)^2+4y^2=4 \right\} o początku w(1,1) i końcu (1,-1) przechodzą przez punkt (-1,0).

Jak się liczy całkę z formy?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 sie 2018, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 4883
1. Parametryzujemy elipsę:

x = 2\cos(\phi)+1, \ \ y = \sin(\phi).

2. Obliczamy różniczki dx = -2\sin(\phi)d\phi , \ \ dy = cos(\phi)d\phi .

3. Zapisujemy formę we współrzędnych biegunowych \omega'(\phi).

4. Obliczamy całkę krzywoliniową dodatnio zorientowaną z tej formy dla \phi \in \left [\frac{\pi}{4},  \frac{5\pi}{4}\right].

Czy forma \omega jest na pewno w tej postaci? Wychodzą kosmiczne rachunki.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 sie 2018, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 2342
Lokalizacja: Kraków
Tak, ale licząc tą parametryzacją wychodzą straszne rachunki właśnie. Teraz próbowałem robić to zadanie inaczej. Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

\omega= \frac{5x^3y^4dy-3x^2y^5dx}{x^6+y^{10}}=\frac{5x^3y^4}{x^6+y^{10}}dy-\frac{3x^2y^5}{x^6+y^{10}}dx
d\omega= \frac{15x^2y^4(x^6+y^{10})-6x^5 \cdot 5x^3y^4}{(x^6+y^{10})^2}dx\wedge dy-\frac{15x^2y^4(x^6+y^10)-10y^9 \cdot 3x^2y^5}{(x^6+y^{10})^2}dy\wedge dx
=\frac{15x^8y^4+15x^2y^{14}-30x^8y^4}{(x^6+y^{10})^2}dx \wedge dy-\frac{15x^8y^4+15x^2y^{14}-30x^2y^{14}}{(x^6+y^{10})^2}dy \wedge dx=
 \frac{15x^2y^{14}-15x^8y^4}{(x^6+y^{10})^2}dx \wedge dy-\frac{15x^8y^4-15x^2y^{14}}{(x^6+y^{10})^2}dy \wedge dx=0.
Wniosek zatem taki, że całka z tej formy po dowolnej drodze jest równa całce po danej elipsie.
Wybieram zatem drogę będącą sumą trzech odcinków: (1,1)->(-1,1)->(-1,-1)->(1,-1).
Całka po pierwszym odcinku to będzie (Podstawiam x=x,y=1,dx=dx,dy=0) \int_{1}^{-1} \frac{-3x^2}{x^6+1}dx=\arctg x^3 w granicy od -1 do 1 czyli \pi/2. Analogicznie drugi odcinek \int_{1}^{-1} \frac{-5y^4dy}{1+y^{10}}=\arctg y^5 w granicy od -1 do 1 czyli \pi/2. Analogicznie trzeci odcinek:
\int_{-1}^{1} \frac{3x^2}{x^6+1}dx=\pi/2. Ostateczna całka będzie sumą tych trzech całek, a zatem 3/2\pi. Czy tak jest dobrze?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 08:48 
Użytkownik

Posty: 4883
Nie rozumiem Twojego rozwiązania. Przechodzisz na całkę powierzchniową, a a całki obliczasz po odcinkach?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 2342
Lokalizacja: Kraków
Ale było jakieś takie twierdzenie, że jeśli d\omega=0 to całka do dowolnej drodze jest taka sama, chyba, że coś pomieszałem co jest bardzo możliwe.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 4883
Co to znaczy całka taka sama? Jeśli różniczka zewnętrzna formy d\omega = 0 to mówimy że forma jest zamknięta. Czy ta forma jest zamknięta?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 sie 2018, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 2342
Lokalizacja: Kraków
No jest zamknięta. Dlatego całka po tej elipsie jest taka sama jak całka po dowolnej krzywej. Zgadza się?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 sie 2018, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 4883
Zgadza się. Ale czy na pewno Twoja d\omega =0? Musisz to pokazać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 2342
Lokalizacja: Kraków
Ale jak to? A co robię w poście powyżej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 4883
Sprawdź jeszcze raz, czy d\omega = 0?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczyć cyrkulację  rObO87  12
 Podać twierdzenie Greena. Korzystając z tego tw obliczyć: - zadanie 2  hermani  6
 Podać twierdzenie Greena. Korzystając z tego tw obliczyć:  hermani  1
 obraz formy różniczkowej  trebor85  1
 zamiana całki z formy różniczkowej na całkę zwykła  trebor85  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl