szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sie 2018, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 337
Witam,

nie rozumiem dlaczego dla całki po krzywej liczby zespolonej:

\int_{C}^{}f(z)dz :=  \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt
t : [a,b]  \rightarrow D

zastosowany taki zapis? Dlaczego krzywa C nagle stała się argumentem funkcji całkowanej?

Dziękuję
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sie 2018, o 18:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2167
Lokalizacja: hrubielowo
Bo z=x+iy a całkujemy po krzywej danej parametrycznie jako c(t)=x(t)+iy(t)=\left( x(t),y(t)\right). Wtedy również \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}=c'(t) \Rightarrow  \mbox{d}c(t)=c'(t) \mbox{d}t
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 sie 2018, o 19:13 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Małe pytanie: jak masz zdefiniowaną całkę krzywoliniową? Bo często definiuje się ją właśnie przy pomocy tego wzoru. Drugą możliwością jest zdefiniowanie jej przy pomocy sum Riemanna (analogicznie jak dla zwykłych całek oznaczonych). Tutaj krótki szkic:

Jak definiujemy całkę Riemanna z funkcji f\colon \left[ a, b\right] \to \RR? Ano bierzemy podział przedziału \left[ a, b\right] postaci:
a=t_0<t_1<\dotsb <t_n=b
i przypisuje się mu następującą sumę:
\sum_{i=0}^{n-1} f\left( t_i\right) \left(t_{i+1}-t_{i}\right)
Całką z f po przedziale \left[ a, b\right] nazywa się wtedy granicę tej sumy, gdy średnica podziału zbiega do zera*

Analogicznie możemy zdefiniować całkę z funkcji zespolonej. W tym przypadku rolę przedziału \left[ a, b\right] przybiera krzywa, po której całkujemy (zrozumiała analogia, bo w końcu na prostej też całkujemy po pewnej krzywej, mianowicie po odcinku). Reszta analogicznie: podziałowi
a=t_0<t_1<\dotsb <t_n=b
i przypisujemy sumę:
\sum_{i=0}^{n-1} f\left( c\left( t_i\right)\right) \left( c\left( t_{i+1}\right)-c\left( t_i\right)\right)
i znowu rozważamy granicę tej sumy, gdy średnica podziału zbiega do zera* (zauważ, że wcześniej w nawiasie były punkty przedziału, teraz są punkty na krzywej)

Okazuje się, że te podejścia są równoważne tzn. całka policzona pierwszym sposobem daje ten sam wynik, co całka policzona drugim sposobem**, więc jeśli chcesz znać powód tej równości, to należałoby spojrzeć na dowód tego faktu: z grubsza wystarczy rozpisać sumy częściowe tej całki krzywoliniowej po lewej i całki oznaczonej po prawej. Jak się zastosuje twierdzenie Lagrange'a i trochę porachuje, to wyjdzie równość w granicy.

* formalnie bierze się granicę ciągu uogólnionego zdefiniowanego na odpowiednim zbiorze skierowanym, ew. pisze się słownie definicję tej zbieżności, ale zakładam, że to było na analizie I. Zresztą to nie jest w tym momencie do niczego potrzebne. Dodatkowo w tych sumach całkowych powinny się pojawić punkty pośrednie, ale to też nie ma znaczenia w tym momencie, a ja jestem zbyt leniwy na to :(

** jedyną różnicą jest to, że w pierwszym sposobie krzywa powinna być kawałkami klasy \mathcal{C}^1, a w drugim wystarczy, że jest prostowalna, więc poniekąd druga definicja jest ogólniejsza. Z drugiej strony w zastosowaniach wystarcza ten pierwszy rodzaj krzywych, więc sporo podręczników nie rozdrabnia się i korzysta z tej pierwszej definicji
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 sie 2018, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 337
Janusz Tracz napisał(a):
Bo z=x+iy a całkujemy po krzywej danej parametrycznie jako c(t)=x(t)+iy(t)=\left( x(t),y(t)\right). Wtedy również \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}=c'(t) \Rightarrow  \mbox{d}c(t)=c'(t) \mbox{d}t



Zgadzam się, że z=x+iy a także, że c(t)=x(t)+iy(t). Natomiast dalej zupełnie nie rozumiem dlaczego krzywa nagle stała się parametrem funkcji? :roll:

-- 15 sie 2018, o 23:24 --

Kaf napisał(a):
Małe pytanie: jak masz zdefiniowaną całkę krzywoliniową? Bo często definiuje się ją właśnie przy pomocy tego wzoru. Drugą możliwością jest zdefiniowanie jej przy pomocy sum Riemanna (analogicznie jak dla zwykłych całek oznaczonych).


No całka jest zdefiniowana jak zapisałem w pierwszym poście:
\int_{C}^{}f(z)dz := \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt

a krzywa C to x + iy

natomiast no dlaczego ta krzywa staje się argumentem funkcji podcałkowej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 sie 2018, o 22:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2167
Lokalizacja: hrubielowo
Dlatego że całkujesz "po krzywej", czyli można sobie wyobrazić że idziesz po płaszczyźnie zespolonej i punkty na ścieżce jaką idziesz dają wartości f(z)=f(\text{punkt na krzywej}). Punkty na krzywej są zadane parametrycznie \left( x(t),y(t)\right) stąd z(t)=x(t)+iy(t). Zapis \left( x(t),y(t)\right) kojarzy się z płaszczyzną \RR^2 i opisuje krzywą można to jednak naturalnie utożsamić z krzywą zespoloną wtedy opisana jest z(t)=x(t)+iy(t).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 337
Okay, niby rozumiem ale - całka z funkcji zespolonej f(z) po krzywej C została "przedefiniowana" na całkę z iloczynu wartości funkcji w punkcie zespolonym oraz pochodnej w tym punkcie, na odcinku [a,b]. O tyle o ile rozumiem zapis \int_{a}^{b}f(c(t)) to nie rozumiem dlaczego finalnie dochodzi jeszcze mnożenie przez pochodną naszej krzywej w punkcie. Czyli:
\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 14:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2167
Lokalizacja: hrubielowo
To jest konsekwencją tego o czym pisałem wcześniej. Patrząc na punkty z płaszczyzny zespolonej tworzące jakiś zbiór (krzywą) punkty z parametryzujemy nową zmienną t i utożsamiamy z krzywą c(t) i dlatego z=c(t). To zamieniania f(z) na f(c(t)) i to już mamy omówione. Ale spójrz teraz na \mbox{d}z które też mamy w całce \int_{C}^{}f(z) \mbox{d}z i musi zostać zamienione naturalnie zamiami się na \mbox{d}c(t) (skoro z=c(t)) i dalej zapiszmy tak:

\mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}  \mbox{d}t

Teraz spójrz na \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} jest to pochodna c(t) czyli inaczej zapisując jest to c'(t) a więc

\mbox{d}z=c'(t) \mbox{d}t

stąd się właśnie bierze ta pochodna. Ostatecznie mamy

\int_{C}^{}f(z) \mbox{d}z= \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t) \mbox{d}t
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 14:55 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Przy czym należy pamiętać, że rozumowanie użytkownika Janusz Tracz nie jest poprawne/ścisłe z punktu widzenia matematyki.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 15:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2167
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
poprawne/ścisłe
Te słowa nie są zamienne. Definicja nie musi mieć uzasadnienia na przykład mógłbym zdefiniować jakieś pojęcie matematyczne i jakoś je opisać. Tylko że takie pojęcie mogło by być bezużyteczne na gruncie matematyki choć poprawne. Definicje które się ostały w matematyce, oprócz tego że są oczywiście poprawne są też uzasadnione jakimiś intuicjami. Pokazałem intuicje stojącą za takim sposobem definiowania całki zespolonej. Tak samo jak najpierw zaczyna się od prostokątów pod wykresem i intuicją a dopiero potem przechodzi się do sum Riemanna. Czy można zrobić na odwrót? Pewnie że można, zasypać pojęciami granicy,pochodnej itd. tylko kto coś z tego wyniesie bez zrozumienia potrzeby istnienia tych pojęć dla matematyki.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 337
Kaf, a mógłbyś trochę szerzej, co konkretnie w tym co opisał Janusz Tracz, nie jest poprawne?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 15:52 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Janusz Tracz, nie twierdzę, że te pojęcia są zamienne. Faktycznie, sposób zapisuj był trochę dwuznaczny, za nieporozumienie przepraszam.

Mondo, bardziej chodziło mi o to, że nie należy myśleć, że jest to rozumowanie matematyczne, bo nie można "wyprowadzić definicji" (jak już Janusz napisał). Jest to bardziej uzasadnienie pewnej intuicji (jak sam Janusz potwierdza), tylko w sposób trochę zbyt symboliczny jak na mój gust i nie dający całkiem prawidłowej intuicji. Takie "przedłużamy notację" (co oczywiście też ma plusy). Tak stricte to niepoprawny jest ten fragment (i to co się z nim wiąże):
Cytuj:
\mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}  \mbox{d}t

Jest to przykład "abuse of notation" (nie znam polskiego odpowiednika). Symbol \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} nie jest ułamkiem i nie można go traktować jak ułamka. Same obiekty typu \mbox{d}z istnieje (są to formy różniczkowe), ale nie ma w nich operacji, która nadawałaby sensu takim operacjom na ułamkach (chociaż wszystkie równości wyżej są prawdziwe, tylko z innych powodów). Dla np. pochodnych cząstkowych takie "lekkie traktowanie notacji" może dosyć szybko prowadzić to zupełnie błędnych wyników. Chcę tylko zaznaczyć, że należy wiedzieć, co wynika z matematyki, a co jest tylko (niepoprawną) zabawą symbolami.

tl;dr Czepiam się, ale w słusznej sprawie
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 19:03 
Użytkownik

Posty: 337
Tak po prawdzie to właśnie ten zapis jest dla mnie nie jasny:

\mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} \mbox{d}t

No bo tak, z jednej strony po tej zamianie argumentu funkcji pod całkowej musieliśmy również zmienić "drogę całkowania" więc powiedzmy że ma to dla mnie sens. Natomiast jeśli chodzi właśnie o ten mały przyrost który musimy wymnożyć aby dostać wartość całki (pole pod krzywą?) to skoro wcześniej było to z (liczba zespolona) to pytanie co to powinno być teraz kiedy to idziemy po liczbach rzeczywistych [a,b]?

Kaf napisał(a):
Czepiam się, ale w słusznej sprawie


Żeby wszyscy się tak czepiali to było by wspaniale ;]
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 sie 2018, o 19:57 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Idziemy po krzywej ciągle, tylko że układem współrzędnych/"mapą" na tej krzywej jest przedział \left[ a, b\right]. Te "przyrosty" to różnice \left( c\left( t_{i+1}\right)-c\left( t_i\right)\right) (por. mój wcześniejszy post), czyli taki wektor między kolejnymi punktami na krzywej.

Swoją drogą, może to Ci jakoś ułatwi: jeśli zdefiniujemy sobie całkę krzywoliniową właśnie jako
\int_a^b f\left( c\left( t \right) \right) c'\left(t\right) \mbox{d}t
to obecność tego czynnika c'\left(t\right) powoduje, że wartość tej całki zależy tylko od kształtu krzywej c, a nie od prędkości poruszania się po niej. Przykład (żeby ten bełkot miał sens):
weźmy sobie dwie krzywe \gamma_1,\gamma_2 \colon \left[ 0,1 \right] \to \CC zdefiniowane jako
\gamma_1 (t) = e^{2i\pi t}
i
\gamma_2 (t) = e^{2i\pi t^2}
Obie krzywe reprezentują okrąg, tylko obchodzony w innym tempie, ale dowolnej funkcji f (dla uproszczenia powiedzmy, że ciągłej) zachodzi:
\int_{\gamma_1} f = \int_{\gamma_2} f
Polecam jako ćwiczenie dowód tego faktu.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 20 sie 2018, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 337
Kaf napisał(a):
Swoją drogą, może to Ci jakoś ułatwi: jeśli zdefiniujemy sobie całkę krzywoliniową właśnie jako
\int_a^b f\left( c\left( t \right) \right) c'\left(t\right) \mbox{d}t
to obecność tego czynnika c'\left(t\right) powoduje, że wartość tej całki zależy tylko od kształtu krzywej c, a nie od prędkości poruszania się po niej.


No wlaśnie nie tylko nie ułatwiło ale jeszcze zasiało ziarno watpliwości :) Mówisz, ze właśnie ten człon c'\left(t\right) \mbox{d}t wpływa na to, że wartość całki nie zależy od prędkości - hmm a gdyby tego członu nie było to co byś my mieli? Czy wgl była by to całka? Od czego by zależała?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sie 2018, o 21:32 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Przepraszam, że tak późno odpisuję, ale zapomniałem o tym temacie :oops:

Gdyby tego c'\left(t\right) nie było, to byłby to inny obiekt, proste ;) A tak bardziej poważnie: chcemy, żeby całka była niezależna od parametryzacji krzywej, czyli żeby nie zależała od tego, jak wygląda funkcja c, tylko od tego jak wygląda "jej obraz" (to ostatnie nie jest całkiem prawdą, ale o tym później), czyli to co byś rysował na papierze. Tak samo jak mamy całki po rozmaitościach (względnie hiperpowierzchniach, płatach itd.) definiujemy w taki sposób, żeby ich wartość nie zależała od parametryzacji, tylko od samego "kształtu" tych tworów. Ta obecność c'\left(t\right) jest w pewnym sensie z tych samych powodów, dla których w twierdzeniu o całkowaniu przez podstawienie występuje moduł jakobianu.

Jeśli chcesz to zobaczyć na własne oczy, to udowodnij te fakt, który zaproponowałem w ostatnim poście.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka zespolona - zadanie 48  Madelinee  1
 Całka zespolona - zadanie 49  Last  1
 Całka zespolona - zadanie 50  PiotrWP  7
 Całka zespolona - zadanie 51  pawelo95  1
 Całka zespolona - zadanie 53  Biala-Flaga  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl