szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sie 2018, o 18:23 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Takie fajne zadanko: udowodnić, że grupa \mbox{GL}_n\left( \CC \right) z naturalną topologią* jest łukowo spójną przestrzenią topologiczną. Autorowi rozwiązania istotnie krótszego od mojego stawiam piwo/kawę/herbatę**

* tzn. utożsamiamy macierze n\times n z wektorami w \CC^{n^2} i rozważamy na \mbox{GL}_n\left( \CC \right) topologię dziedziczoną z \CC^{n^2}.

** bonusowe punkty za dowód spójności, z którego nie wynika łukowa spójność
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sie 2018, o 19:48 
Gość Specjalny

Posty: 5968
Lokalizacja: Toruń
Ustalmy dowolną macierz A \in \mbox{GL}_n\left( \CC \right). Z twierdzenia Jordana, istnieje macierz odwracalna P taka, że
A = P J(A) P^{-1}.
Jeżeli A ma n parami różnych wartości własnych \lambda_1, \ldots, \lambda_n, to
J(A) = diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n).
Zdefiniujmy X(t) = diag( (1-t) \lambda_1 + t, \ldots, (1-t) \lambda_n + t ). Wtedy
A = P X(0) P^{-1}.
Z kolei P X(1) P^{-1} = P I P^{-1} = I. Mamy drogę z A do I. Teraz trzeba to jakoś uogólnić na przypadek klatek Jordana....

-- 4 sie 2018, o 19:50 --

Poprawka -- nie można określić tak X(t) bo można przejść przypadkiem przez zero. Trzeba ogólniej - wziąć drogę \gamma_k(t) z \lambda_k do 1 nieprzechodzącą przez zero i określić
X(t) = diag (\gamma_1 (t), \ldots, \gamma_n (t)).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 sie 2018, o 20:23 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Pomysł z tw. Jordana jest ciekawy (ale nie mam teraz pomysłu, jak go dokończyć), ale można prościej. Na pewno trzeba jakoś zaangażować np. wartości własne, bo to samo twierdzenie dla \mbox{GL}_n\left( \RR \right) nie zachodzi (co łatwo widać, jak rozpatrzy się obraz tej ostatniej przez funkcję \det)
Wskazówka:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 sie 2018, o 12:04 
Użytkownik

Posty: 3921
Lokalizacja: Warszawa
Szybki sposób: spektrum elementu A \in GL_n(\mathbb{C}) jest skończone i omija zero, więc można zdefiniować gałąź logarytmu na pewnym otwartym otoczeniu spektrum. Definiujemy B jako logarytm A (za pomocą wzoru Cauchy'ego) i droga \gamma(t):= \exp(tB) łączy identyczność z A.

Trochę bardziej elementarnie: za pomocą rozkładu biegunowego możemy zapisać A=UB, gdzie macierz U jest unitarna, natomiast B jest dodatnio określona. Wobec tego B łatwo połączyć łukiem z identycznością i wystarczy zająć się U. Grupa U_n działa na sferze S^{2n-1} i to jest rozwłóknienie z włóknem U_{n-1} (chyba), więc przez indukcję da się pokazać spójność.

Pewnie mógłbym próbować twierdzić, że ten drugi sposób pokazuje spójność bez łukowej spójności, ale nie będę tego robił; GL_n(\mathbb{C}) jest lokalnie łukowo spójne jako otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej, więc spójność i łukowa spójność są równoważne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 sie 2018, o 13:38 
Gość Specjalny

Posty: 817
Lokalizacja: Zabrze
Wasilewski, ten pierwszy pomysł sumie korzysta z podobnej obserwacji, który sugerowałem we wskazówce, tylko jest trochę mniej elementarny: zbiór liczb zespolonych \lambda dla których
A+\lambda (B-A) \not\in \mbox{GL}_n\left( \CC\right)
jest skończony (więc nie rozspójnia płaszczyzny), więc można skonstruować drogę postaci
A+\gamma \left( t \right) \left( B-A\right)

Ten drugi sposób jest natomiast bardzo ładny (nie pomyślałbym o zastosowaniu rozkładu biegunowego) i ten fakt z rozwłóknieniem zachodzi (bo S^{2n-1}\cong U_n/ U_{n-1} - stabilizatory łatwo wyznaczyć). No i ten komentarz o spójności jest oczywiście prawdziwy, mogłem uściślić o co mi chodziło. Chyba mamy zwycięzcę :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 To forum umiera [Topologia]  ElEski  8
 [Algebra] Układ Równań - zadanie 518  Grunwald1410  6
 [Algebra] Część całkowita liczby rzeczywistej  krokus50  27
 [Algebra] Siódemka  Elayne  10
 [Algebra][Nierówności] Suma wszystkich wyrazów  exupery  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl